Seja f(x, y) = x^2 * y^2 - x
Utilize a aproximação linear para aproximar o valor de f(0.9, 1.9).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos usar a aproximação linear para estimar o valor de . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas parciais, mas vou te explicar passo a passo para ficar tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto próximo ao qual a gente vai fazer a aproximação. Como estamos avaliando , faz sentido escolher o ponto porque é bem pertinho e facilita os cálculos.

Passo 3

A aproximação linear usa a ideia de que perto do ponto escolhido, a função pode ser aproximada por um plano. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calcular, podemos montar a fórmula da aproximação linear. A fórmula é:
Onde é o ponto escolhido, que no nosso caso é .

Passo 6

Vamos calcular :
Agora, substituindo na fórmula da aproximação linear:
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo:

Resposta

A aproximação linear de é 1.9.

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