Mostre que
existe e calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o limite existe e calcular esse limite. Vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e analisar se o limite realmente existe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o limite está pedindo. Estamos olhando para o comportamento da função quando
e
se aproximam de 0. Em funções de várias variáveis, para o limite existir, o resultado deve ser o mesmo independente do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto
.
Passo 3
Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é consistente:
-
Caminho onde
: Se, a função fica: Então, ao longo desse caminho, o limite é 0. -
Caminho onde
: Se, substituímos na função: Sabemos que e. Então: Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 1.
Passo 4
Observamos que ao escolher caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes (0 e 1). Isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos possíveis para
.
Passo 5
Segundo a teoria de limites em várias variáveis, se ao menos dois caminhos diferentes resultam em limites distintos, então o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação levam a diferentes valores.
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onde o plano tangente é paralelo ao plano
Seja
Encontre em
.
Encontre
Seja
Utilize a aproximação linear para aproximar o valor de .
Utilize a aproximação linear para aproximar o valor de
Verifique se é verdadeiro ou falso:
a) , onde
a)