Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função no intervalo de entre -4 e 2. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, precisamos calcular a sua derivada e encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A função é . Para derivar, vamos usar a regra do produto, que diz que .
Primeiro, identifiquemos as partes:
Agora, vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos reescrever como para ter denominadores iguais:

Passo 5

Agora, vamos encontrar onde ou onde a derivada não existe.
  1. Derivada igual a zero:
O numerador deve ser zero:
  1. Derivada não existe:
    A derivada não existe quando o denominador é zero:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
  • Extremidades do intervalo:
  • Pontos críticos:
Vamos calcular para esses valores:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O menor valor encontrado é em e o maior valor é aproximadamente em .

Resposta

No intervalo , a função tem um ponto de mínimo em com valor mínimo e um ponto de máximo em com valor máximo aproximadamente .

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Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa: