Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
no intervalo de
entre -4 e 2. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, precisamos calcular a sua derivada e encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A função é
. Para derivar, vamos usar a regra do produto, que diz que
.
Primeiro, identifiquemos as partes:
Agora, vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos reescrever
como
para ter denominadores iguais:
Passo 5
Agora, vamos encontrar onde
ou onde a derivada não existe.
- Derivada igual a zero:
O numerador deve ser zero:
- Derivada não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
-
Extremidades do intervalo:
-
-
Pontos críticos:
-
Vamos calcular
para esses valores:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O menor valor encontrado é
em
e o maior valor é aproximadamente
em
.
Resposta
No intervalo
, a função
tem um ponto de mínimo em
com valor mínimo
e um ponto de máximo em
com valor máximo aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usando a regra de derivação implícita, encontrar
em termos de
e
:
Encontrar as derivadas superiores
das seguintes funções:
Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa: