Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conhecimentos de funções polinomiais, derivadas e análise de gráficos. Para resolver, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptações, pontos críticos e comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o comportamento da função para valores grandes e pequenos de
. Como a função é polinomial de grau 3 e o coeficiente líder é positivo (2), sabemos que:
- Quando
vai para , vai para . - Quando
vai para , vai para .
Isso nos dá uma ideia geral de como começa e termina o gráfico.
Passo 3
Vamos encontrar a interceptação com o eixo y, que ocorre quando
:
Então, o ponto
está no gráfico.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo x resolvendo
:
Podemos tentar fatorar a equação. Vamos verificar se
é raiz:
Tentando
:
Tentando
:
Parece não haver raízes racionais fáceis, então vamos deixar essa parte para mais tarde e focar em outras características da função.
Passo 5
Vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos (máximos e mínimos locais):
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Simplificando:
Fatorando:
Então,
e
são pontos críticos.
Passo 6
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Calculamos a segunda derivada:
Para
:
Como
, temos um máximo local em
.
Para
:
Como
, temos um mínimo local em
.
Passo 7
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos críticos substituindo
e
na função original.
Para
:
Então, o máximo local é
.
Para
:
Então, o mínimo local é
.
Passo 8
Vamos agora buscar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Para encontrar a coordenada y:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 9
Vamos resumir os pontos importantes que encontramos:
- Interceptação com o eixo y:
- Máximo local:
- Mínimo local:
- Ponto de inflexão:
- Comportamento assintótico:
e
Resposta
Com essas informações, ao esboçar o gráfico de
, teremos um gráfico que passa pelos pontos mencionados, com uma curva que sobe para
quando
aumenta e desce para
quando
diminui, apresentando um máximo local em
, um mínimo local em
e um ponto de inflexão em
.
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das seguintes funções:
Usando a regra de derivação implícita, encontrar
em termos de
e
: