Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos usar conhecimentos de funções polinomiais, derivadas e análise de gráficos. Para resolver, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptações, pontos críticos e comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o comportamento da função para valores grandes e pequenos de . Como a função é polinomial de grau 3 e o coeficiente líder é positivo (2), sabemos que:
  • Quando vai para , vai para .
  • Quando vai para , vai para .
Isso nos dá uma ideia geral de como começa e termina o gráfico.

Passo 3

Vamos encontrar a interceptação com o eixo y, que ocorre quando :
Então, o ponto está no gráfico.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo x resolvendo :
Podemos tentar fatorar a equação. Vamos verificar se é raiz:
Tentando :
Tentando :
Parece não haver raízes racionais fáceis, então vamos deixar essa parte para mais tarde e focar em outras características da função.

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos (máximos e mínimos locais):
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Simplificando:
Fatorando:
Então, e são pontos críticos.

Passo 6

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Calculamos a segunda derivada:
Para :
Como , temos um máximo local em .
Para :
Como , temos um mínimo local em .

Passo 7

Vamos encontrar as coordenadas desses pontos críticos substituindo e na função original.
Para :
Então, o máximo local é .
Para :
Então, o mínimo local é .

Passo 8

Vamos agora buscar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Para encontrar a coordenada y:
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 9

Vamos resumir os pontos importantes que encontramos:
  • Interceptação com o eixo y:
  • Máximo local:
  • Mínimo local:
  • Ponto de inflexão:
  • Comportamento assintótico: e

Resposta

Com essas informações, ao esboçar o gráfico de , teremos um gráfico que passa pelos pontos mencionados, com uma curva que sobe para quando aumenta e desce para quando diminui, apresentando um máximo local em , um mínimo local em e um ponto de inflexão em .

Exercícios relacionados

Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
Encontrar as derivadas superiores das seguintes funções:
Usando a regra de derivação implícita, encontrar em termos de e :