Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
no intervalo de
entre -2 e 2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções, pra identificar onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos precisar encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está “subindo” ou “descendo” em cada ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada
existe para todo
, então só precisamos igualar ela a zero:
Passo 4
Vamos verificar se esse ponto crítico
está dentro do nosso intervalo de interesse, que é de -2 a 2. Como -1 está entre -2 e 2, ele é válido para nossa análise.
Passo 5
Para encontrar os valores máximos e mínimos no intervalo, precisamos calcular o valor da função
nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, que são
e
.
Passo 6
Vamos calcular
para esses valores de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O menor valor é -5 em
, e o maior valor é 4 em
.
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu mínimo em
com valor
e seu máximo em
com valor
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
Usando a regra de derivação implícita, encontrar
em termos de
e
:
Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:
Encontrar as derivadas superiores
das seguintes funções: