Encontre os pontos onde
é descontínua e de razões para esta descontinuidade:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos onde a função
não é contínua, ou seja, onde ela tem descontinuidades. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções racionais, que são aquelas formadas por frações envolvendo polinômios. Vamos identificar onde a função pode ter problemas, como divisões por zero, e qual o tipo de descontinuidade ocorre nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
que fazem os denominadores das frações serem zero, pois nesses pontos a função pode ser descontínua. Olhando para a função:
Temos dois denominadores:
e
. Vamos resolver:
- Para
, o denominador é zero. - Para
, temos ou .
Então, os possíveis pontos de descontinuidade são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada um desses pontos para entender que tipo de descontinuidade existe em cada caso.
Para
:
Aqui, temos , que fica indefinido quando
. Isso geralmente indica uma assíntota vertical, ou seja, a função “vai ao infinito” perto desse ponto.
Aqui, temos
Para
:
Vamos simplificar a segunda fração:
Vamos simplificar a segunda fração:
Podemos cancelar
no numerador e denominador (desde que
):
Isso mostra que, para
, a função é
. Porém, no ponto
, originalmente a função estava indefinida, mas o limite existe. Isso significa que há uma descontinuidade removível (ou seja, um “buraco”) em
.
Para
:
Na função simplificada, temos , que também fica indefinida quando
. Assim como em
, isso indica uma assíntota vertical nesse ponto.
Na função simplificada, temos
Resposta
A função
é descontínua nos pontos
,
e
. Nos pontos
e
, a descontinuidade é uma assíntota vertical, e em
há uma descontinuidade removível (um “buraco”).