Encontre os pontos onde f é descontínua e de razões para esta descontinuidade: f(x) = 1/x + (x - 1)/(x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos onde a função não é contínua, ou seja, onde ela tem descontinuidades. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções racionais, que são aquelas formadas por frações envolvendo polinômios. Vamos identificar onde a função pode ter problemas, como divisões por zero, e qual o tipo de descontinuidade ocorre nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de que fazem os denominadores das frações serem zero, pois nesses pontos a função pode ser descontínua. Olhando para a função:
Temos dois denominadores: e . Vamos resolver:
  • Para , o denominador é zero.
  • Para , temos ou .
Então, os possíveis pontos de descontinuidade são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada um desses pontos para entender que tipo de descontinuidade existe em cada caso.
Para :
Aqui, temos , que fica indefinido quando . Isso geralmente indica uma assíntota vertical, ou seja, a função “vai ao infinito” perto desse ponto.
Para :
Vamos simplificar a segunda fração:
Podemos cancelar no numerador e denominador (desde que ):
Isso mostra que, para , a função é . Porém, no ponto , originalmente a função estava indefinida, mas o limite existe. Isso significa que há uma descontinuidade removível (ou seja, um “buraco”) em .
Para :
Na função simplificada, temos , que também fica indefinida quando . Assim como em , isso indica uma assíntota vertical nesse ponto.

Resposta

A função é descontínua nos pontos , e . Nos pontos e , a descontinuidade é uma assíntota vertical, e em há uma descontinuidade removível (um “buraco”).

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