Mostre que a curva com equações paramétricas x = t^2, y = 1 - 3 t, z = 1 + t^2 passa pelos pontos 1,4,0 e (9, -8, 28) e não passa pelo ponto (4, 7, -6).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por equações paramétricas:
O conteúdo aqui envolve parametrização de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos verificar se existem valores de que satisfazem as coordenadas dos pontos dados: , e .

Passo 2

Vamos começar com o ponto . Precisamos encontrar um valor de que faça:
Agora, vamos verificar se ou satisfazem as outras coordenadas.

Passo 3

Para :
Isso não coincide com e . Então, vamos tentar .

Passo 4

Para :
Apesar de bater, não é igual a 0. Portanto, o ponto não está na curva.

Passo 5

Agora, vamos ao ponto . Precisamos encontrar tal que:
Vamos verificar esses valores de .

Passo 6

Para :
Aqui, bate, mas não é igual a 28. Agora, para :

Passo 7

Para :
Nenhum dos valores de satisfaz todas as coordenadas. Assim, o ponto também não está na curva.

Passo 8

Por fim, vamos verificar o ponto . Precisamos achar tal que:
Vamos ver se algum desses valores satisfaz as outras coordenadas.

Passo 9

Para :
Para :
O único valor que bate é para , mas não é igual a -6. Então, o ponto não está na curva.

Resposta

Nenhum dos pontos , e está na curva definida pelas equações paramétricas dadas.

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