Encontre os pontos sobre a curva onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A parada é encontrar os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal. Quando a reta tangente é horizontal, isso significa que a inclinação dela é zero. Para descobrir onde isso acontece, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da curva em qualquer ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada, que vamos chamar de , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos lá:
Derivando cada termo:
Então, a derivada fica:

Passo 3

Como queremos que a reta tangente seja horizontal, queremos que a inclinação seja zero. Ou seja, vamos igualar a derivada a zero e resolver para :
Primeiro, somamos 18 em ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 6:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 4

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de na curva original. Para isso, substituímos e na equação da curva.
Primeiro, para :
Simplificando:
Agora, para :
Simplificando:

Resposta

Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal são:

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Calcule .
.
Calcule .
.