Resolver as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui! A questão pede pra resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que está escrita assim:
Aqui, vamos precisar usar a Equação de Bernoulli, que é uma técnica para resolver esse tipo de EDO onde temos termos com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão da Equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Como e , podemos usar a substituição de Bernoulli para resolver.

Passo 3

A próxima etapa é fazer a substituição para transformar a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Vamos rearranjar a equação original para expressar em termos de :
Multiplicando ambos os lados por :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora temos uma equação linear em termos de :
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Então,

Passo 5

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Tomando o inverso dos dois lados:
Podemos simplificar fatorando :

Resposta

A solução geral da EDO é
onde é a constante de integração.

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