Resolver as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui! A questão pede pra resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que está escrita assim:
Aqui, vamos precisar usar a Equação de Bernoulli, que é uma técnica para resolver esse tipo de EDO onde temos termos com potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão da Equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Como
e
, podemos usar a substituição de Bernoulli para resolver.
Passo 3
A próxima etapa é fazer a substituição para transformar a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Vamos rearranjar a equação original para expressar
em termos de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora temos uma equação linear em termos de
:
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Então,
Passo 5
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Tomando o inverso dos dois lados:
Podemos simplificar fatorando
:
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é a constante de integração.
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. Calcule a sua velocidade instantânea no instante
.
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onde a reta tangente é horizontal.