Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
0 <= r < 2, pi <= theta <= 3 pi / 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma região no plano usando coordenadas polares. As condições dadas são e . Isso significa que vamos trabalhar com a distância do ponto ao centro ® e o ângulo que esse ponto faz com o eixo positivo x ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Aqui, representa a distância do ponto até a origem. Então, todos os pontos com entre 0 e 2 estão dentro ou na borda de um círculo com raio 2. Mas como o intervalo é até 2, sem incluir, estamos falando da região interna desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos analisar . O representa o ângulo em relação ao eixo positivo x. radianos correspondem a 180°, que é o ponto no eixo negativo x. radianos são 270°, que é o ponto no eixo negativo y. Então, entre e cobre o terceiro quadrante do plano cartesiano.

Passo 4

Combinando as duas condições, queremos todos os pontos que estão dentro do círculo de raio 2 e que também estão no terceiro quadrante. Para esboçar isso, vamos desenhar um círculo com raio 2 centrado na origem. Em seguida, vamos sombrear apenas a parte desse círculo que está no terceiro quadrante, ou seja, onde .

Passo 5

Vamos destacar que, em coordenadas polares, a região definida por e é uma fatia do círculo de raio 2, especificamente no terceiro quadrante. Essa representação ajuda a visualizar facilmente quais pontos pertencem à região.

Resposta

A região no plano é o setor do círculo de raio 2, centrado na origem, que está localizado no terceiro quadrante, ou seja, onde .

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