Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma região no plano usando coordenadas polares. As condições dadas são
e
. Isso significa que vamos trabalhar com a distância do ponto ao centro ® e o ângulo que esse ponto faz com o eixo positivo x (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Aqui,
representa a distância do ponto até a origem. Então, todos os pontos com
entre 0 e 2 estão dentro ou na borda de um círculo com raio 2. Mas como o intervalo é até 2, sem incluir, estamos falando da região interna desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. O
representa o ângulo em relação ao eixo positivo x.
radianos correspondem a 180°, que é o ponto no eixo negativo x.
radianos são 270°, que é o ponto no eixo negativo y. Então,
entre
e
cobre o terceiro quadrante do plano cartesiano.
Passo 4
Combinando as duas condições, queremos todos os pontos que estão dentro do círculo de raio 2 e que também estão no terceiro quadrante. Para esboçar isso, vamos desenhar um círculo com raio 2 centrado na origem. Em seguida, vamos sombrear apenas a parte desse círculo que está no terceiro quadrante, ou seja, onde
.
Passo 5
Vamos destacar que, em coordenadas polares, a região definida por
e
é uma fatia do círculo de raio 2, especificamente no terceiro quadrante. Essa representação ajuda a visualizar facilmente quais pontos pertencem à região.
Resposta
A região no plano é o setor do círculo de raio 2, centrado na origem, que está localizado no terceiro quadrante, ou seja, onde
.