Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função tal que mas .

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o desafio aqui! A questão pede para encontrarmos uma função tal que a integral de de 0 a 1 seja igual a 0, ou seja, . Mas, ao mesmo tempo, a integral do valor absoluto de nesse mesmo intervalo seja 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e funções que têm áreas positivas e negativas que se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a integral de uma função no intervalo de 0 a 1. A integral basicamente calcula a área líquida sob a curva de entre 0 e 1. Se essa integral for zero, isso quer dizer que as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente.

Passo 3

Agora, a integral do valor absoluto de , , calcula a área total sem considerar os sinais. Ou seja, todas as partes da função são consideradas positivas, então essa integral será a soma de todas as áreas, independente de serem positivas ou negativas.

Passo 4

Para que e , precisamos que a área positiva seja igual em magnitude à área negativa, mas com sinais opostos. Assim, a soma líquida das áreas será zero, mas a soma total das áreas absolutas será 1.

Passo 5

Uma maneira simples de conseguir isso é dividir o intervalo [0, 1] em duas partes iguais. Vamos definir a função como:

Passo 6

Vamos verificar se essa função satisfaz as condições:
  1. Integral de :
  1. Integral de :

Resposta

Uma função que satisfaz as condições é:

Exercícios relacionados

Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função tal que mas para todo ;
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(d)
Use um argumento geométrico para calcular .
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
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