Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função
tal que
mas
.
d) uma função
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o desafio aqui! A questão pede para encontrarmos uma função
tal que a integral de
de 0 a 1 seja igual a 0, ou seja,
. Mas, ao mesmo tempo, a integral do valor absoluto de
nesse mesmo intervalo seja 1, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e funções que têm áreas positivas e negativas que se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a integral de uma função no intervalo de 0 a 1. A integral
basicamente calcula a área líquida sob a curva de
entre 0 e 1. Se essa integral for zero, isso quer dizer que as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente.
Passo 3
Agora, a integral do valor absoluto de
,
, calcula a área total sem considerar os sinais. Ou seja, todas as partes da função são consideradas positivas, então essa integral será a soma de todas as áreas, independente de serem positivas ou negativas.
Passo 4
Para que
e
, precisamos que a área positiva seja igual em magnitude à área negativa, mas com sinais opostos. Assim, a soma líquida das áreas será zero, mas a soma total das áreas absolutas será 1.
Passo 5
Uma maneira simples de conseguir isso é dividir o intervalo [0, 1] em duas partes iguais. Vamos definir a função
como:
Passo 6
Vamos verificar se essa função satisfaz as condições:
- Integral de
:
- Integral de
:
Resposta
Uma função que satisfaz as condições é: