Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função f tal que integral0^1 f=0 mas integral0^1|f|=1.

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o desafio aqui! A questão pede para encontrarmos uma função tal que a integral de de 0 a 1 seja igual a 0, ou seja, . Mas, ao mesmo tempo, a integral do valor absoluto de nesse mesmo intervalo seja 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e funções que têm áreas positivas e negativas que se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a integral de uma função no intervalo de 0 a 1. A integral basicamente calcula a área líquida sob a curva de entre 0 e 1. Se essa integral for zero, isso quer dizer que as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente.

Passo 3

Agora, a integral do valor absoluto de , , calcula a área total sem considerar os sinais. Ou seja, todas as partes da função são consideradas positivas, então essa integral será a soma de todas as áreas, independente de serem positivas ou negativas.

Passo 4

Para que e , precisamos que a área positiva seja igual em magnitude à área negativa, mas com sinais opostos. Assim, a soma líquida das áreas será zero, mas a soma total das áreas absolutas será 1.

Passo 5

Uma maneira simples de conseguir isso é dividir o intervalo [0, 1] em duas partes iguais. Vamos definir a função f(x) = 1 & se 0 <= x < 0,5 -1 & se 0,5 <= x <= 1 como:

Passo 6

Vamos verificar se essa função satisfaz as condições:
  1. Integral de integral0^1 f(x) , dx = integral0^0,5 1 , dx + integral0,5^1 (-1) , dx = (0,5 times 1) + (0,5 times -1) = 0,5 - 0,5 = 0 :
integral0^1 |f(x)| , dx = integral0^1 1 , dx = 1 times 1 = 1
  1. Integral de :

Resposta

Uma função que satisfaz as condições é:
f(x) = 1 & se 0 <= x < 0,5 -1 & se 0,5 <= x <= 1

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