Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem a integral
e a tarefa é estimar essa integral por cima e por baixo, ou seja, encontrar limites que a integral não ultrapasse sem realmente calculá-la.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e propriedades de integrais que nos ajudam a encontrar esses limites. Precisamos entender como a função
se comporta no intervalo de
a
para saber quais são os valores máximos e mínimos que ela atinge, e assim estimar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que
é sempre positivo ou zero, então
é pelo menos 1. Isso significa que o denominador nunca vai ser menor que 1, e portanto, a fração inteira
é sempre menor ou igual a 4.
Então, a função atinge seu valor máximo quando
, porque aí
e a função vale
. Esse é o valor mais alto que a função pode alcançar nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor mínimo da função no intervalo
. Quando
, temos
, então a função fica
. Portanto, o menor valor que a função atinge nesse intervalo é
.
Passo 4
Com esses valores máximos e mínimos, podemos estimar a integral. A ideia é que a integral de uma função positiva em um intervalo é pelo menos o valor mínimo da função multiplicado pelo comprimento do intervalo, e no máximo o valor máximo da função multiplicado pelo comprimento do intervalo.
No nosso caso, o intervalo vai de
a
, então o comprimento é
.
Passo 5
Aplicando isso, temos:
- Estimativa por baixo:
- Estimativa por cima:
Resposta
A integral
está entre
e
.
Exercícios relacionados
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
©
©
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(b)
(b)
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função tal que
mas
para todo
;
a) uma função
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função tal que
mas
.
d) uma função