Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(d)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem a integral e a tarefa é estimar essa integral por cima e por baixo, ou seja, encontrar limites que a integral não ultrapasse sem realmente calculá-la.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e propriedades de integrais que nos ajudam a encontrar esses limites. Precisamos entender como a função se comporta no intervalo de a para saber quais são os valores máximos e mínimos que ela atinge, e assim estimar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que é sempre positivo ou zero, então é pelo menos 1. Isso significa que o denominador nunca vai ser menor que 1, e portanto, a fração inteira é sempre menor ou igual a 4.
Então, a função atinge seu valor máximo quando , porque aí e a função vale . Esse é o valor mais alto que a função pode alcançar nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor mínimo da função no intervalo . Quando , temos , então a função fica . Portanto, o menor valor que a função atinge nesse intervalo é .

Passo 4

Com esses valores máximos e mínimos, podemos estimar a integral. A ideia é que a integral de uma função positiva em um intervalo é pelo menos o valor mínimo da função multiplicado pelo comprimento do intervalo, e no máximo o valor máximo da função multiplicado pelo comprimento do intervalo.
No nosso caso, o intervalo vai de a , então o comprimento é .

Passo 5

Aplicando isso, temos:
  • Estimativa por baixo:
  • Estimativa por cima:

Resposta

A integral está entre e .

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Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
©
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(b)
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função tal que mas para todo ;
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função tal que mas .