Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função
tal que
mas
para todo
;
a) uma função
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar uma função
definida no intervalo
que satisfaz duas condições:
- A integral de
de 0 a 1 é igual a 0, ou seja, . - A função
nunca é igual a zero em qualquer ponto do intervalo, ou seja, para todo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções que podem assumir valores positivos e negativos sem nunca ser zero no intervalo considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a integral de
de 0 a 1 seja zero. A integral representa a área líquida entre a função e o eixo
. Se a integral for zero, isso significa que a área positiva (onde
) e a área negativa (onde
) se anulam.
Agora, precisamos construir uma função que tenha essas áreas positivas e negativas balanceadas, mas que nunca toque o eixo
no intervalo
.
Passo 3
Uma maneira simples de fazer isso é definir uma função que assume valores positivos em uma parte do intervalo e valores negativos na outra parte, sem nunca ser zero.
Por exemplo, podemos definir
da seguinte forma:
-
para todo em . -
para todo em .
Passo 4
Vamos verificar se essa função atende às duas condições do exercício.
-
Integral igual a zero:Portanto, a integral de
de 0 a 1 é realmente zero. -
para todo : - Para
em , . - Para
em , . - No ponto
, podemos definir ou para manter diferente de zero.
- Para
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz as condições é:
Essa função tem integral zero no intervalo
e nunca é igual a zero em nenhum ponto desse intervalo.
Exercícios relacionados
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(d)
(d)
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
©
©
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função tal que
mas
.
d) uma função
Use um argumento geométrico para calcular
.