Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função f tal que integral0^1 f=0 mas f(x) neq 0 para todo x in[0,1];

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar uma função definida no intervalo que satisfaz duas condições:
  1. A integral de de 0 a 1 é igual a 0, ou seja, .
  2. A função nunca é igual a zero em qualquer ponto do intervalo, ou seja, para todo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções que podem assumir valores positivos e negativos sem nunca ser zero no intervalo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a integral de de 0 a 1 seja zero. A integral representa a área líquida entre a função e o eixo . Se a integral for zero, isso significa que a área positiva (onde ) e a área negativa (onde ) se anulam.
Agora, precisamos construir uma função que tenha essas áreas positivas e negativas balanceadas, mas que nunca toque o eixo no intervalo .

Passo 3

Uma maneira simples de fazer isso é definir uma função que assume valores positivos em uma parte do intervalo e valores negativos na outra parte, sem nunca ser zero.
Por exemplo, podemos definir da seguinte forma:
  • para todo em .
  • para todo em .

Passo 4

Vamos verificar se essa função atende às duas condições do exercício.
  1. Integral igual a zero:
    integral0^1 f(x) , dx = integral0^0.5 1 , dx + integral0.5^1 (-1) , dx = (1 times 0.5) + (-1 times 0.5) = 0.5 - 0.5 = 0
    Portanto, a integral de de 0 a 1 é realmente zero.
  2. para todo :
    • Para em , .
    • Para em , .
    • No ponto , podemos definir ou para manter diferente de zero.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições é:
f(x) = 1, & se 0 <= x < 0.5, -1, & se 0.5 <= x <= 1
Essa função tem integral zero no intervalo e nunca é igual a zero em nenhum ponto desse intervalo.

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