Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
© integral0^1 2 x^21+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa estimar por cima e por baixo a integral . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como comparar funções para encontrar limites superiores e inferiores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral: . Para estimar a integral, vamos encontrar duas funções que sejam, respectivamente, maiores e menores que no intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar encontrando um limite superior. Observamos que 2x^21+x^2 <= 2x^21 = 2x^2 para todo no intervalo [0,1]. Então, podemos substituir o denominador por 1 para obter uma função maior:

Passo 4

Agora, para o limite inferior, notamos que 2x^21+x^2 >= 2x^22 = x^2 quando está entre 0 e 1. Então, substituindo o denominador por 2, obtemos uma função menor:

Passo 5

Com essas duas funções, temos que:
x^2 <= 2x^21+x^2 <= 2x^2

Passo 6

Agora, vamos integrar todas as partes dessa desigualdade de 0 a 1:
integral0^1 x^2 dx <= integral0^1 2x^21+x^2 dx <= integral0^1 2x^2 dx

Passo 7

Vamos calcular as integrais das funções mais simples:
Para a inferior:
integral0^1 x^2 dx = [x^33]0^1 = 13
Para a superior:
integral0^1 2x^2 dx = 2 [x^33]0^1 = 23

Resposta

Portanto, a integral original está estimada entre 13 <= integral0^1 2x^21+x^2 dx <= 23 e :

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