Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa estimar por cima e por baixo a integral . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como comparar funções para encontrar limites superiores e inferiores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral: . Para estimar a integral, vamos encontrar duas funções que sejam, respectivamente, maiores e menores que no intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar encontrando um limite superior. Observamos que para todo no intervalo [0,1]. Então, podemos substituir o denominador por 1 para obter uma função maior:

Passo 4

Agora, para o limite inferior, notamos que quando está entre 0 e 1. Então, substituindo o denominador por 2, obtemos uma função menor:

Passo 5

Com essas duas funções, temos que:

Passo 6

Agora, vamos integrar todas as partes dessa desigualdade de 0 a 1:

Passo 7

Vamos calcular as integrais das funções mais simples:
Para a inferior:
Para a superior:

Resposta

Portanto, a integral original está estimada entre e :

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Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(b)
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(a)
Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(d)
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função tal que mas para todo ;