Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa estimar por cima e por baixo a integral
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como comparar funções para encontrar limites superiores e inferiores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
. Para estimar a integral, vamos encontrar duas funções que sejam, respectivamente, maiores e menores que
no intervalo de 0 a 1.
Passo 3
Vamos começar encontrando um limite superior. Observamos que
para todo
no intervalo [0,1]. Então, podemos substituir o denominador por 1 para obter uma função maior:
Passo 4
Agora, para o limite inferior, notamos que
quando
está entre 0 e 1. Então, substituindo o denominador por 2, obtemos uma função menor:
Passo 5
Com essas duas funções, temos que:
Passo 6
Agora, vamos integrar todas as partes dessa desigualdade de 0 a 1:
Passo 7
Vamos calcular as integrais das funções mais simples:
Para a inferior:
Para a superior:
Resposta
Portanto, a integral original está estimada entre
e
:
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(b)
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(a)
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Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
(d)
(d)
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função tal que
mas
para todo
;
a) uma função