Encontre, se possível, um valor para a constante
para que a função
seja contínua para todo
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que precisamos saber para resolvê-lo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar um valor para a constante
que torne a função contínua para todo
. Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade e como usá-lo para determinar
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte da função onde
:
Perceba que o numerador
pode ser fatorado como
. Então:
Podemos cancelar
(desde que
), ficando:
Então, para
, a função simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos analisar a continuidade da função em
. Para a função ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de
pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda (
) usando a parte simplificada da função:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite pela direita (
) usando a outra parte da função:
Substituindo
:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os dois limites calculados devem ser iguais. Assim, temos:
Isso não faz sentido, ou seja, não há solução. Porém, precisamos verificar novamente.
Na verdade, o valor da função em
deve ser igual aos limites. Então, vamos igualar os limites:
Claramente, não existe um valor de
que satisfaça essa equação. Portanto, não é possível encontrar um valor para
que torne a função contínua para todo
.
Resposta
Não existe um valor de
que torne a função contínua para todo
.