Encontre, se possível, um valor para a constante para que a função seja contínua para todo .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que precisamos saber para resolvê-lo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar um valor para a constante que torne a função contínua para todo . Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade e como usá-lo para determinar .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da função onde :
Perceba que o numerador pode ser fatorado como . Então:
Podemos cancelar (desde que ), ficando:
Então, para , a função simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos analisar a continuidade da função em . Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda ( ) usando a parte simplificada da função:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite pela direita ( ) usando a outra parte da função:
Substituindo :

Passo 5

Para a função ser contínua em , os dois limites calculados devem ser iguais. Assim, temos:
Isso não faz sentido, ou seja, não há solução. Porém, precisamos verificar novamente.
Na verdade, o valor da função em deve ser igual aos limites. Então, vamos igualar os limites:
Claramente, não existe um valor de que satisfaça essa equação. Portanto, não é possível encontrar um valor para que torne a função contínua para todo .

Resposta

Não existe um valor de que torne a função contínua para todo .

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