Seja uma função harmônica no aberto , ou seja, , para todo . Sejam ainda funções de classe no aberto tais que para todo e satisfaçam e .
a. Mostre que .
b. Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções harmônicas e algumas condições específicas que elas devem satisfazer. A gente tem uma função que é harmônica em um conjunto aberto de , o que significa que a soma das segundas derivadas de em relação a e é zero. Além disso, temos duas funções e que são bem comportadas (classe ) em outro conjunto aberto , e elas estão relacionadas de maneira que suas derivadas parciais se comportam de forma específica: e . Vamos resolver as duas partes do exercício usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que e também são funções harmônicas, ou seja, que e .
Como e têm derivadas de segunda ordem contínuas (classe ), podemos calcular suas derivadas segundas. Sabemos que:
Vamos derivar em relação a :
Como as derivadas mistas são iguais ( ), podemos escrever:
Agora, vamos derivar em relação a :
Mas, sabemos que . Vamos derivar isso em relação a :
Então:
Isso nos dá:
Fazendo um raciocínio similar para :
Então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que
Primeiro, lembramos que é uma função harmônica, ou seja, .
Vamos aplicar a regra da cadeia para calcular e em termos de e .
Calculando :
Derivando novamente em relação a :
Fazendo o mesmo para :
Agora, somando as duas expressões:
Lembrando que e pela parte a, e que porque é harmônica. Além disso, pelas condições dadas:
Substituindo essas relações, percebemos que todas as somas se anulam, resultando em:

Resposta

Conseguimos mostrar que tanto quanto são funções harmônicas e que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e , avaliadas em e , também é igual a zero. Portanto:
e

Exercícios relacionados

Encontre, se possível, um valor para a constante para que a função seja contínua para todo .
Seja a função
A função é contínua?
Explique o que significa dizer que a reta é uma assíntota horizontal da função . Em seguida, considerando os gráficos esboçados no Exercício 1, determine as assíntotas horizontais sugeridas por cada um deles.
Verifique en cada caso que :