Seja f: A subseteq R^2 R uma função harmônica no aberto A, ou seja, De, para todo (u, v) in A. Sejam ainda g, h: B subseteq R^2 R funções de classe mathscrC^2 no aberto B tais que (g(x, y), h(x, y)) in A para todo (x, y) in B e satisfaçam gx=hy e hx=-gy.
a. Mostre que gx x+gy y=hx x+hy y=0.
b. Mostre que partial^2 fpartial x^2(g(x, y), h(x, y))+partial^2 fpartial y^2(g(x, y), h(x, y))=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções harmônicas e algumas condições específicas que elas devem satisfazer. A gente tem uma função que é harmônica em um conjunto aberto de , o que significa que a soma das segundas derivadas de em relação a e é zero. Além disso, temos duas funções e que são bem comportadas (classe ) em outro conjunto aberto , e elas estão relacionadas de maneira que suas derivadas parciais se comportam de forma específica: e . Vamos resolver as duas partes do exercício usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que gx = hy e hx = -gy e gxx = partialpartial x(gx) = partialpartial x(hy) = hyx também são funções harmônicas, ou seja, que gxx = hxy e gxy = partialpartial y(gx) = partialpartial y(hy) = hyy .
Como hxy = -gyy e gxx = hxy = -gyy têm derivadas de segunda ordem contínuas (classe gxx + gyy = 0 ), podemos calcular suas derivadas segundas. Sabemos que:
hxx = partialpartial x(hx) = partialpartial x(-gy) = -gyx = -gxy = -gxy = -(-hyy) = hyy
Vamos derivar hxx + hyy = 0 em relação a :
Como as derivadas mistas são iguais ( ), podemos escrever:
Agora, vamos derivar em relação a :
Mas, sabemos que . Vamos derivar isso em relação a :
Então:
Isso nos dá:
Fazendo um raciocínio similar para :
Então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que
partial^2 fpartial x^2(g(x, y), h(x, y)) + partial^2 fpartial y^2(g(x, y), h(x, y)) = 0
Primeiro, lembramos que partial fpartial x = fu gx + fv hx é uma função harmônica, ou seja, partial^2 fpartial x^2 = fuu gx^2 + 2 fuv gx hx + fvv hx^2 + fu gxx + fv hxx .
Vamos aplicar a regra da cadeia para calcular partial^2 fpartial y^2 = fuu gy^2 + 2 fuv gy hy + fvv hy^2 + fu gyy + fv hyy e partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = fuu(gx^2 + gy^2) + 2 fuv(gx hx + gy hy) + fvv(hx^2 + hy^2) + fu (gxx + gyy) + fv (hxx + hyy) em termos de gx = hy e hx = -gy e partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 .
Calculando :
Derivando novamente em relação a :
Fazendo o mesmo para :
Agora, somando as duas expressões:
Lembrando que e pela parte a, e que porque é harmônica. Além disso, pelas condições dadas:
Substituindo essas relações, percebemos que todas as somas se anulam, resultando em:

Resposta

Conseguimos mostrar que tanto gxx + gyy = hxx + hyy = 0 quanto partial^2 fpartial x^2(g(x, y), h(x, y)) + partial^2 fpartial y^2(g(x, y), h(x, y)) = 0 são funções harmônicas e que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e , avaliadas em e , também é igual a zero. Portanto:
e

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