Seja
uma função harmônica no aberto
, ou seja,
, para todo
. Sejam ainda
funções de classe
no aberto
tais que
para todo
e satisfaçam
e
.
a. Mostre que
.
b. Mostre que
.
a. Mostre que
b. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções harmônicas e algumas condições específicas que elas devem satisfazer. A gente tem uma função
que é harmônica em um conjunto aberto
de
, o que significa que a soma das segundas derivadas de
em relação a
e
é zero. Além disso, temos duas funções
e
que são bem comportadas (classe
) em outro conjunto aberto
, e elas estão relacionadas de maneira que suas derivadas parciais se comportam de forma específica:
e
. Vamos resolver as duas partes do exercício usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
e
também são funções harmônicas, ou seja, que
e
.
Como
e
têm derivadas de segunda ordem contínuas (classe
), podemos calcular suas derivadas segundas. Sabemos que:
Vamos derivar
em relação a
:
Como as derivadas mistas são iguais (
), podemos escrever:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Mas, sabemos que
. Vamos derivar isso em relação a
:
Então:
Isso nos dá:
Fazendo um raciocínio similar para
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que
Primeiro, lembramos que
é uma função harmônica, ou seja,
.
Vamos aplicar a regra da cadeia para calcular
e
em termos de
e
.
Calculando
:
Derivando novamente em relação a
:
Fazendo o mesmo para
:
Agora, somando as duas expressões:
Lembrando que
e
pela parte a, e que
porque
é harmônica. Além disso, pelas condições dadas:
Substituindo essas relações, percebemos que todas as somas se anulam, resultando em:
Resposta
Conseguimos mostrar que tanto
quanto
são funções harmônicas e que a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, avaliadas em
e
, também é igual a zero. Portanto:
e
Exercícios relacionados
Encontre, se possível, um valor para a constante
para que a função
seja contínua para todo
.
Seja a função
A função
é contínua?
Explique o que significa dizer que a reta
é uma assíntota horizontal da função
. Em seguida, considerando os gráficos esboçados no Exercício 1, determine as assíntotas horizontais sugeridas por cada um deles.
Verifique en cada caso que
: