Seja a função
A função é contínua?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de . Queremos saber se essa função é contínua, ou seja, se não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de função contínua e verificar se a transição entre as duas partes da função acontece sem problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Como a nossa função muda a fórmula em , precisamos verificar a continuidade nesse ponto específico.

Passo 3

Vamos calcular usando a primeira parte da função, já que a condição é :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ):

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela direita ( ):

Passo 6

Agora, comparamos os resultados:
Como todos esses valores são iguais, o limite de quando se aproxima de 4 existe e é igual a .

Resposta

Sim, a função é contínua.

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Seja a função
A função é contínua em ? E em ? E em ? E em ? E em ?
Encontre, se possível, um valor para a constante para que a função seja contínua para todo .
Seja uma função harmônica no aberto , ou seja, , para todo . Sejam ainda funções de classe no aberto tais que para todo e satisfaçam e .
a. Mostre que .
b. Mostre que .