Seja a função
f(x) = { -x - 1, se x <= -1; x^2 - 1, se -1 < x < 1; 2, se x >= 1 }
A função f é contínua em x = 1 ? E em x = -1 ? E em x = 0 ? E em x = -2 ? E em x = 3 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função f é contínua nos pontos x = 1, x = -1, x = 0, x = -2 e x = 3? Para responder isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar isso para funções definidas por partes.

Passo 2

O que é continuidade?
Uma função é contínua em um ponto a se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em a: f(a) existe.
  2. O limite da função quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite da função quando x se aproxima de a é igual ao valor da função em a: .
Vamos aplicar isso para cada ponto solicitado.

Passo 3

Verificação em x = 1:
  1. Está definida em 1?
    • Para x ≥ 1, .
    • Então, .
  2. Limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    • Para , .
    • .
  3. Limite quando x se aproxima de 1 pela direita ( ):
    • Para x ≥ 1, .
    • .
  4. Comparando os limites e o valor em 1:
    • não existe, pois os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (0 ≠ 2).
    • Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em x = 1.

Passo 4

Verificação em x = -1:
  1. Está definida em -1?
    • Para , .
    • Então, .
  2. Limite quando x se aproxima de -1 pela esquerda ( ):
    • Para , .
    • .
  3. Limite quando x se aproxima de -1 pela direita ( ):
    • Para , .
    • .
  4. Comparando os limites e o valor em -1:
    • e .
    • Como todos são iguais, a função é contínua em x = -1.

Passo 5

Verificação em x = 0:
  1. Está definida em 0?
    • Para , .
    • Então, .
  2. Limite quando x se aproxima de 0:
    • Tanto pela esquerda quanto pela direita, usamos .
    • .
  3. Comparando os limites e o valor em 0:
    • e .
    • A função é contínua em x = 0.

Passo 6

Verificação em x = -2:
  1. Está definida em -2?
    • Para , .
    • Então, .
  2. Limite quando x se aproxima de -2:
    • Para valores próximos a -2, estamos na região , então .
    • .
  3. Comparando os limites e o valor em -2:
    • e .
    • A função é contínua em x = -2.

Passo 7

Verificação em x = 3:
  1. Está definida em 3?
    • Para x ≥ 1, .
    • Então, .
  2. Limite quando x se aproxima de 3:
    • Para valores próximos a 3, estamos na região x ≥ 1, então .
    • .
  3. Comparando os limites e o valor em 3:
    • e .
    • A função é contínua em x = 3.

Resposta

A função f não é contínua em x = 1, mas é contínua em x = -1, x = 0, x = -2 e x = 3.

Exercícios relacionados

Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim h 5 hraiz5+h-raiz5
Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim x +infty(raizx^2+x-x^4)
Seja a função
f(x) = { 2x + 3, se x <= 4; 7 + 16/x, se x > 4 }
A função f é contínua?
Encontre, se possível, um valor para a constante k para que a função f seja contínua para todo x em R.
f(x) = { (x² - 1) / (x + 1), se x < -1, kx² - k + 4, se x ≥ -1 }