A função f é contínua em x = 1 ? E em x = -1 ? E em x = 0 ? E em x = -2 ? E em x = 3 ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função f é contínua nos pontos x = 1, x = -1, x = 0, x = -2 e x = 3? Para responder isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar isso para funções definidas por partes.
Passo 2
O que é continuidade?
Uma função é contínua em um ponto a se três condições forem satisfeitas:
A função está definida em a: f(a) existe.
O limite da função quando x se aproxima de a existe.
O limite da função quando x se aproxima de a é igual ao valor da função em a: .
Vamos aplicar isso para cada ponto solicitado.
Passo 3
Verificação em x = 1:
Está definida em 1?
Para x ≥ 1, .
Então, .
Limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda ():
Para , .
.
Limite quando x se aproxima de 1 pela direita ():
Para x ≥ 1, .
.
Comparando os limites e o valor em 1:
não existe, pois os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (0 ≠ 2).
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em x = 1.
Passo 4
Verificação em x = -1:
Está definida em -1?
Para , .
Então, .
Limite quando x se aproxima de -1 pela esquerda ():
Para , .
.
Limite quando x se aproxima de -1 pela direita ():
Para , .
.
Comparando os limites e o valor em -1:
e .
Como todos são iguais, a função é contínua em x = -1.
Passo 5
Verificação em x = 0:
Está definida em 0?
Para , .
Então, .
Limite quando x se aproxima de 0:
Tanto pela esquerda quanto pela direita, usamos .
.
Comparando os limites e o valor em 0:
e .
A função é contínua em x = 0.
Passo 6
Verificação em x = -2:
Está definida em -2?
Para , .
Então, .
Limite quando x se aproxima de -2:
Para valores próximos a -2, estamos na região , então .
.
Comparando os limites e o valor em -2:
e .
A função é contínua em x = -2.
Passo 7
Verificação em x = 3:
Está definida em 3?
Para x ≥ 1, .
Então, .
Limite quando x se aproxima de 3:
Para valores próximos a 3, estamos na região x ≥ 1, então .
.
Comparando os limites e o valor em 3:
e .
A função é contínua em x = 3.
Resposta
A função f não é contínua em x = 1, mas é contínua em x = -1, x = 0, x = -2 e x = 3.