O rolo de papel de 20 kg tem raio de giração
em torno de um eixo que passa pelo ponto
. Ele é apoiado por um pino nas duas extremidades por meio de dois suportes
. Se o rolo é apoiado contra uma parede para a qual o coeficiente de atrito cinético é
e uma força vertical
é aplicada à extremidade do papel, determine a aceleração angular do rolo à medida que o papel é desenrolado.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Estamos lidando com um problema de dinâmica rotacional, onde um rolo de papel de 20 kg está sendo desenrolado. O rolo tem um raio de giração $ k_{A} = 90 \ mm $ em torno de um eixo no ponto $ A $. Ele está apoiado por pinos nas extremidades por meio de suportes $ AB $ e está contra uma parede com coeficiente de atrito cinético $ \mu_{k} = 0,2 $. Além disso, há uma força vertical $ F = 30 \ N $ aplicada na extremidade do papel. Nosso objetivo é determinar a aceleração angular do rolo enquanto o papel é desenrolado.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como momentos de inércia, torques e leis de Newton para rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O raio de giração $ k_{A} = 90 \ mm $ é igual a $ 0,09 \ m $.
Passo 3
Vamos encontrar o momento de inércia $ I $ do rolo. O momento de inércia é dado por:
Onde:
- $ m = 20 \ kg $
- $ k_{A} = 0,09 \ m $
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos identificar os torques atuantes no sistema. Existem dois torques principais:
- Torque causado pela força $ F $: Este torque tende a desenrolar o rolo.
- Torque devido à fricção na parede: Este torque resiste ao movimento de desenrolar.
Para encontrar o torque da força $ F $, usamos:
Onde $ r $ é a distância da força ao eixo de rotação. Aqui, $ r $ é igual ao raio do rolo, mas precisamos relacionar isso com o raio de giração. Vamos considerar que o raio efetivo onde a força é aplicada é igual ao raio de giração $ k_{A} $.
Então:
Passo 5
Para o torque devido à fricção, primeiro precisamos calcular a força de atrito $ f $ na parede. A força de atrito é dada por:
Onde $ N $ é a força normal. Neste caso, a força normal é igual à força aplicada $ F $, já que o rolo está em equilíbrio vertical.
Portanto:
Agora, o torque devido à fricção $ \tau_f $ é:
Passo 6
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona o torque total $ \tau_{total} $ ao momento de inércia e à aceleração angular $ \alpha $:
O torque total é a diferença entre o torque da força aplicada e o torque da fricção:
Passo 7
Agora, isolamos a aceleração angular $ \alpha $:
Resposta
A aceleração angular do rolo é de 13,33 rad/s².