Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
10) integral d xcos ^2 x raiztg x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando o método de substituição de variáveis. Isso envolve entender como mudar a variável de integração para simplificar a integral. Vamos precisar conhecer um pouco de trigonometria e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
u = tan x - 1
Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = sec^2 x em relação a para encontrar :
Lembrando que , então .

Passo 4

Com essa derivada, podemos expressar dx = dusec^2 x = cos^2 x , du em termos de :

Passo 5

Agora, vamos substituir integral dxcos^2 x raiztan x - 1 = integral cos^2 x , ducos^2 x raizu = integral duraizu e na integral original:
Veja que se cancela, simplificando bastante a integral.

Passo 6

A integral integral duraizu = 2raizu + C é uma integral básica que sabemos resolver:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original 2raizu + C = 2raiztan x - 1 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

integral dxcos^2 x raiztan x - 1 = 2raiztan x - 1 + C

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