Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
10)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral
usando o método de substituição de variáveis. Isso envolve entender como mudar a variável de integração para simplificar a integral. Vamos precisar conhecer um pouco de trigonometria e técnicas básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de
, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Lembrando que
, então
.
Passo 4
Com essa derivada, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Veja que
se cancela, simplificando bastante a integral.
Passo 6
A integral
é uma integral básica que sabemos resolver:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
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por derivação implícita:
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Calcule as derivadas abaixo usando a Regra da Cadeia e as regras de derivação.
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11)
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