Encontre
e
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A questão pede para encontrar duas partes,
que está no complemento ortogonal de
(denotado por
) e
que está em
, de forma que a soma dessas duas partes seja igual ao polinômio
. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especialmente de subespaços e decomposição de vetores em componentes ortogonais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é
. O complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em
. Para conseguir decompor
em
, precisamos saber qual é o subespaço
. Vamos supor que
seja um subespaço específico de polinômios. Por exemplo, se
for o subespaço gerado por
, então qualquer polinômio em
pode ser escrito como
.
Passo 3
Assumindo que
, queremos encontrar
e
tal que:
Como
é gerado por
, podemos escrever
, onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, para encontrar
, lembramos que
deve estar em
. Isso significa que
deve ser ortogonal a todos os vetores em
. No contexto de polinômios, a ortogonalidade pode ser definida usando um produto interno adequado. Vamos usar o produto interno padrão:
Para simplificar, vamos considerar o intervalo de integração de
a
.
Passo 5
Para que
seja ortogonal a todos os vetores em
, devemos ter:
Ou seja:
Passo 6
Sabemos que
e
. Então, substituindo:
Agora, vamos aplicar as condições de ortogonalidade:
Passo 7
Calculando as integrais:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Passo 8
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a equação (1) por 6 para eliminar os denominadores:
Multiplicando a equação (2) por 12:
Passo 9
Agora temos:
Vamos multiplicar a equação (1’) por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a equação (1’’) da equação (2’):
Usando a equação (1’):
Subtraindo a equação (3):
Agora, encontrando
usando a equação (3):
Passo 10
Com
e
, podemos escrever:
E então:
Resposta
Portanto, a decomposição desejada é: