Encontre v^prime in W^perp e w in W tais que 1+2 x-x^2=v^prime+w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A questão pede para encontrar duas partes, que está no complemento ortogonal de (denotado por ) e que está em , de forma que a soma dessas duas partes seja igual ao polinômio . Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especialmente de subespaços e decomposição de vetores em componentes ortogonais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é . O complemento ortogonal é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em . Para conseguir decompor em , precisamos saber qual é o subespaço . Vamos supor que seja um subespaço específico de polinômios. Por exemplo, se for o subespaço gerado por , então qualquer polinômio em pode ser escrito como .

Passo 3

Assumindo que 1 + 2x - x^2 = w + v' , queremos encontrar e tal que:
Como é gerado por , podemos escrever , onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, para encontrar lang<= p, q rang<= = integrala^b p(x) q(x) , dx , lembramos que deve estar em . Isso significa que deve ser ortogonal a todos os vetores em . No contexto de polinômios, a ortogonalidade pode ser definida usando um produto interno adequado. Vamos usar o produto interno padrão:
Para simplificar, vamos considerar o intervalo de integração de a .

Passo 5

Para que lang<= v', 1 rang<= = 0 e lang<= v', x rang<= = 0 seja ortogonal a todos os vetores em integral0^1 v'(x) cdot 1 , dx = 0 e integral0^1 v'(x) cdot x , dx = 0 , devemos ter:
Ou seja:

Passo 6

Sabemos que v'(x) = (1 + 2x - x^2) - (a + bx) = (1 - a) + (2 - b)x - x^2 e integral0^1 [(1 - a) + (2 - b)x - x^2] , dx = 0 . Então, substituindo:
integral0^1 [(1 - a) + (2 - b)x - x^2] cdot x , dx = 0
Agora, vamos aplicar as condições de ortogonalidade:

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. Primeira equação:
(1 - a)integral0^1 dx + (2 - b)integral0^1 x , dx - integral0^1 x^2 , dx = 0
(1 - a)(1) + (2 - b)(12) - (13) = 0
1 - a + 2 - b2 - 13 = 0
  1. Segunda equação:
(1 - a)integral0^1 x , dx + (2 - b)integral0^1 x^2 , dx - integral0^1 x^3 , dx = 0
(1 - a)(12) + (2 - b)(13) - (14) = 0
1 - a2 + 2 - b3 - 14 = 0

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
1 - a + 2 - b2 - 13 = 0 (1)
1 - a2 + 2 - b3 - 14 = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a equação (1) por 6 para eliminar os denominadores:
6(1 - a) + 3(2 - b) - 2 = 0
6 - 6a + 6 - 3b - 2 = 0
10 - 6a - 3b = 0 Rightarrow 6a + 3b = 10 Rightarrow 2a + b = 103 (1')
Multiplicando a equação (2) por 12:
6(1 - a) + 4(2 - b) - 3 = 0
6 - 6a + 8 - 4b - 3 = 0
11 - 6a - 4b = 0 Rightarrow 6a + 4b = 11 (2')

Passo 9

Agora temos:
2a + b = 103 (1')
6a + 4b = 11 (2')
Vamos multiplicar a equação (1’) por 2 para facilitar a eliminação:
4a + 2b = 203 (1'')
Subtraindo a equação (1’’) da equação (2’):
6a + 4b - (4a + 2b) = 11 - 203
2a + 2b = 133
a + b = 136 (3)
Usando a equação (1’):
2a + b = 103
Subtraindo a equação (3):
2a + b - (a + b) = 103 - 136
a = 103 - 136 = 20 - 136 = 76
Agora, encontrando 76 + b = 136 Rightarrow b = 136 - 76 = 66 = 1 usando a equação (3):

Passo 10

Com w = a + bx = 76 + x e v'(x) = (1 + 2x - x^2) - (76 + x) = (1 - 76) + (2x - x) - x^2 = -16 + x - x^2 , podemos escrever:
E então:

Resposta

Portanto, a decomposição desejada é:
v' = -16 + x - x^2 in W^perp e w = 76 + x in W

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