Mostre que, se S for um subconjunto de R que contem só o vetor 0 , então S^perp=R.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto que é um subconjunto de e que contém apenas o vetor zero. A tarefa é mostrar que o complementar ortogonal de , denotado por , é igual a todo o conjunto . Para isso, vamos precisar entender o que é um complemento ortogonal e como ele se aplica nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa complemento ortogonal. Em um espaço vetorial, o complementar ortogonal de um conjunto S^perp = v in R mid lang<= v, s rang<= = 0 para todo s in S é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor em . Ou seja,
Aqui, representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores e .

Passo 3

No nosso caso, o conjunto lang<= v, 0 rang<= = 0 contém apenas o vetor zero, isto é, . Então, para encontrar , precisamos identificar todos os vetores em que são ortogonais ao vetor zero. Portanto, a condição fica:

Passo 4

Sabemos que o produto interno de qualquer vetor com o vetor zero é sempre zero. Ou seja,
lang<= v, 0 rang<= = 0
independente de qual seja o vetor em . Isso significa que não há restrição sobre ; qualquer vetor real satisfaz essa condição.

Resposta

Portanto, todo vetor em S^perp = R pertence a , ou seja,

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