Mostre que, se
for um subconjunto de
que contem só o vetor 0 , então
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
que é um subconjunto de
e que contém apenas o vetor zero. A tarefa é mostrar que o complementar ortogonal de
, denotado por
, é igual a todo o conjunto
. Para isso, vamos precisar entender o que é um complemento ortogonal e como ele se aplica nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa complemento ortogonal. Em um espaço vetorial, o complementar ortogonal de um conjunto
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor em
. Ou seja,
Aqui,
representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores
e
.
Passo 3
No nosso caso, o conjunto
contém apenas o vetor zero, isto é,
. Então, para encontrar
, precisamos identificar todos os vetores
em
que são ortogonais ao vetor zero. Portanto, a condição fica:
Passo 4
Sabemos que o produto interno de qualquer vetor com o vetor zero é sempre zero. Ou seja,
independente de qual seja o vetor
em
. Isso significa que não há restrição sobre
; qualquer vetor real
satisfaz essa condição.
Resposta
Portanto, todo vetor em
pertence a
, ou seja,