Mostre que, se S for um subconjunto de R que contem algum vetor diferente de 0 , então S^perp=0.

Passo 1

Vamos analisar o problema que temos aqui. Queremos provar que, se for um subconjunto de que contém algum vetor diferente de zero, então o complemento ortogonal de , denotado por , é igual ao conjunto que contém apenas o vetor zero. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e complementos ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o complemento ortogonal S^perp = v in R mid v cdot s = 0 para todo s in S . Em álgebra linear, o complemento ortogonal de um conjunto em é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais (perpendiculares) a cada vetor de . Ou seja,
Aqui, representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores e .

Passo 3

Agora, vamos considerar que contém algum vetor diferente de zero. Vamos chamar esse vetor de . Nosso objetivo é mostrar que o único vetor que satisfaz é .

Passo 4

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores não nulos é zero apenas se os vetores forem ortogonais. No caso de , que é um espaço vetorial de dimensão 1, todos os vetores são alinhados em uma única direção. Isto significa que não existem vetores não nulos que sejam ortogonais entre si nesse espaço, a não ser o vetor zero.

Passo 5

Portanto, o único vetor que satisfaz a condição é o vetor nulo . Isso implica que o complemento ortogonal contém apenas o vetor zero.

Resposta

Concluímos que, se é um subconjunto de que contém algum vetor diferente de zero, então .

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