Mostre que, se
for um subconjunto de
que contem algum vetor diferente de 0 , então
.
Passo 1
Vamos analisar o problema que temos aqui. Queremos provar que, se
for um subconjunto de
que contém algum vetor diferente de zero, então o complemento ortogonal de
, denotado por
, é igual ao conjunto que contém apenas o vetor zero. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e complementos ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o complemento ortogonal
. Em álgebra linear, o complemento ortogonal de um conjunto
em
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais (perpendiculares) a cada vetor de
. Ou seja,
Aqui,
representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que
contém algum vetor diferente de zero. Vamos chamar esse vetor de
. Nosso objetivo é mostrar que o único vetor que satisfaz
é
.
Passo 4
Sabemos que o produto escalar entre dois vetores não nulos é zero apenas se os vetores forem ortogonais. No caso de
, que é um espaço vetorial de dimensão 1, todos os vetores são alinhados em uma única direção. Isto significa que não existem vetores não nulos que sejam ortogonais entre si nesse espaço, a não ser o vetor zero.
Passo 5
Portanto, o único vetor que satisfaz a condição
é o vetor nulo
. Isso implica que o complemento ortogonal
contém apenas o vetor zero.
Resposta
Concluímos que, se
é um subconjunto de
que contém algum vetor diferente de zero, então
.