Observe que S=(cc1 & 0 0 & 1),(cc-1 & 1 1 & -1) é um subconjunto linearmente independente de W. Use o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar S.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. Precisamos usar o processo de Gram-Schmidt para transformar um conjunto de matrizes dadas em um conjunto ortonormal. Ortonormalizar significa que as matrizes resultantes serão todas perpendiculares entre si (ou seja, o produto interno delas é zero) e cada uma terá norma 1. Vamos precisar usar conceitos de produto interno e normalização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o conjunto S = 1 & 0 0 & 1 , -1 & 1 1 & -1 que queremos ortonormalizar:
Essas são as duas matrizes que vamos trabalhar. Nosso objetivo é transformar essas matrizes em duas matrizes ortonormais.

Passo 3

Vamos começar aplicando o processo de Gram-Schmidt. O primeiro passo é tornar o primeiro vetor (ou matriz, nesse caso) uma matriz unitaria.
Calculamos a norma da primeira matriz |E1| = raizlang<= E1, E1 rang<= :
lang<= A, B rang<= = trace(A^T B)
Onde o produto interno lang<= E1, E1 rang<= = trace( 1 & 0 0 & 1 ^T 1 & 0 0 & 1 ) = trace( 1 & 0 0 & 1 ) = 1 + 1 = 2 para matrizes é definido como:
|E1| = raiz2
Vamos calcular:
U1 = E1|E1| = 1raiz2 1 & 0 0 & 1
Então,
Agora, normalizamos :

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar a segunda matriz lang<= E2, U1 rang<= = trace( E2^T U1 ) em relação a E2^T = -1 & 1 1 & -1 .
Primeiro, calculamos o produto interno entre E2^T U1 = 1raiz2 -1 & 1 1 & -1 1 & 0 0 & 1 = 1raiz2 -1 & 1 1 & -1 e trace( 1raiz2 -1 & 1 1 & -1 ) = 1raiz2 (-1 + (-1)) = -2raiz2 = -raiz2 :
ProjU1(E2) = lang<= E2, U1 rang<= U1 = (-raiz2) cdot 1raiz2 1 & 0 0 & 1 = -1 1 & 0 0 & 1
Calculando:
V2 = E2 - ProjU1(E2) = -1 & 1 1 & -1 - -1 & 0 0 & -1 = 0 & 1 1 & 0
Então,
E a trace desse produto é:
Então,
Subtraímos essa projeção de para obter :

[
V_2 = E_2 - Proj_{U_1}(E_2) =


]

Passo 5

Agora, precisamos normalizar |V2| = raizlang<= V2, V2 rang<= = raiztrace(V2^T V2) para obter V2^T V2 = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1 .
Calculamos a norma de |V2| = raiztrace( 1 & 0 0 & 1 ) = raiz1 + 1 = raiz2 :
U2 = V2|V2| = 1raiz2 0 & 1 1 & 0
Calculando:

[
V_2^T V_2 =


]
Então,
Finalmente, normalizamos :

Resposta

Após aplicar o processo de Gram-Schmidt, o conjunto ortonormalizado é:
1raiz2 1 & 0 0 & 1 , 1raiz2 0 & 1 1 & 0

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