Observe que
é um subconjunto linearmente independente de
. Use o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. Precisamos usar o processo de Gram-Schmidt para transformar um conjunto de matrizes dadas em um conjunto ortonormal. Ortonormalizar significa que as matrizes resultantes serão todas perpendiculares entre si (ou seja, o produto interno delas é zero) e cada uma terá norma 1. Vamos precisar usar conceitos de produto interno e normalização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o conjunto
que queremos ortonormalizar:
Essas são as duas matrizes que vamos trabalhar. Nosso objetivo é transformar essas matrizes em duas matrizes ortonormais.
Passo 3
Vamos começar aplicando o processo de Gram-Schmidt. O primeiro passo é tornar o primeiro vetor (ou matriz, nesse caso) uma matriz unitaria.
Calculamos a norma da primeira matriz
:
Onde o produto interno
para matrizes é definido como:
Vamos calcular:
Então,
Agora, normalizamos
:
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar a segunda matriz
em relação a
.
Primeiro, calculamos o produto interno entre
e
:
Calculando:
Então,
E a trace desse produto é:
Então,
Subtraímos essa projeção de
para obter
:
[
V_2 = E_2 - Proj_{U_1}(E_2) =
]
Passo 5
Agora, precisamos normalizar
para obter
.
Calculamos a norma de
:
Calculando:
[
V_2^T V_2 =
]
Então,
Finalmente, normalizamos
:
Resposta
Após aplicar o processo de Gram-Schmidt, o conjunto ortonormalizado é: