Encontre f'(x) das seguintes funções
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, com a, b > 0.
Cálculo 1Lista 4: Derivada e suas propriedades aritméticas, Regra da Cadeia e Derivação Implícita

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a derivada de em relação a na equação da elipse . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembrando que e são constantes, então suas derivadas são zero.

Passo 3

Calculando cada derivada:
  1. Para , a derivada é .
  2. Para , usamos a regra da cadeia. A derivada é .
  3. A derivada de 1 é 0.
Então temos:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Vamos mover o primeiro termo para o outro lado:

Passo 5

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Simplificando a divisão, multiplicamos pelo inverso:
Os 2’s se cancelam:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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