Encontre usando a definição as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, quão rápido a função está aumentando ou diminuindo. A definição formal da derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Primeiro, vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Podemos simplificar a expressão no numerador usando propriedades dos expoentes:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Vamos fatorar no numerador:

Passo 6

Agora, observamos que não depende de , então podemos tirá-lo do limite:

Passo 7

O limite é conhecido e é igual a 1. Portanto:

Resposta

A derivada de é .

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