Encontre usando a definição as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, quão rápido a função está aumentando ou diminuindo. A definição formal da derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Primeiro, vamos substituir
na fórmula:
Passo 4
Podemos simplificar a expressão no numerador usando propriedades dos expoentes:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Vamos fatorar
no numerador:
Passo 6
Agora, observamos que
não depende de
, então podemos tirá-lo do limite:
Passo 7
O limite
é conhecido e é igual a 1. Portanto:
Resposta
A derivada de
é
.
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Seja a função
, determine os pontos do gráfico em que a reta tangente passa pela origem.