Encontre a primeira derivada das funções abaixo utilizando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira derivada da função
usando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar relembrar um pouco de cálculo, especialmente como derivar funções com potências que também dependem da variável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a derivação. Uma técnica útil é usar logaritmos para transformar a potência. Então, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
. Assim, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se de que a derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 5
Agora, vamos usar a regra do produto para derivar o lado direito. A regra do produto diz que
. Aqui,
e
. Então,
Passo 6
Agora, precisamos derivar
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, então,
Passo 7
Substituindo de volta na equação anterior:
Passo 8
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A primeira derivada da função é:
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Seja a função
, determine os pontos do gráfico em que a reta tangente passa pela origem.
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei
em que
e
são números reais dados. Determine: b) a velocidade no instante
;
A função
, com
, e sua derivada segunda