Encontre a primeira derivada das funções abaixo utilizando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia, calcule a primeira derivada das funções abaixo: f(x) = (sen(x))^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira derivada da função usando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar relembrar um pouco de cálculo, especialmente como derivar funções com potências que também dependem da variável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Uma técnica útil é usar logaritmos para transformar a potência. Então, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente: . Assim, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se de que a derivada de em relação a é . Então,

Passo 5

Agora, vamos usar a regra do produto para derivar o lado direito. A regra do produto diz que . Aqui, e . Então,

Passo 6

Agora, precisamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , então,

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:

Passo 8

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A primeira derivada da função é:

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