Encontre a primeira derivada das funções abaixo utilizando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira derivada da função
usando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar relembrar um pouco de cálculo, especialmente como derivar funções com potências que também dependem da variável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a derivação. Uma técnica útil é usar logaritmos para transformar a potência. Então, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
. Assim, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se de que a derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 5
Agora, vamos usar a regra do produto para derivar o lado direito. A regra do produto diz que
. Aqui,
e
. Então,
Passo 6
Agora, precisamos derivar
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, então,
Passo 7
Substituindo de volta na equação anterior:
Passo 8
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A primeira derivada da função é: