Seja a função , determine os pontos do gráfico em que a reta tangente passa pela origem.

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos a função e precisamos encontrar os pontos no gráfico dessa função onde a reta tangente passa pela origem (0,0). Para resolver isso, vamos usar derivadas para encontrar a equação da reta tangente em um ponto qualquer e depois impor a condição de que essa reta passe pela origem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de pode ser encontrada usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos a derivada , que nos dá a inclinação da reta tangente no ponto , vamos escrever a equação da reta tangente nesse ponto. A equação da reta tangente em é:

Passo 4

Como queremos que essa reta passe pela origem (0,0), substituímos e na equação da reta tangente:
Isso nos dá a condição:

Passo 5

Substituindo e na condição :

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 7

Resolvendo a equação :

Passo 8

Agora precisamos verificar quais desses valores de correspondem a pontos no gráfico onde a reta tangente passa pela origem. Vamos calcular as coordenadas dos pontos e suas respectivas retas tangentes.
Para :
A reta tangente é , que passa pela origem.
Para :
A derivada é
A equação da reta tangente é . Substituindo , , passa pela origem.
Para :
A derivada é . Substituindo , , passa pela origem.

Resposta

Os pontos do gráfico onde a reta tangente passa pela origem são , e .

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