Seja a função
, determine os pontos do gráfico em que a reta tangente passa pela origem.
Passo 1
Vamos resumir a questão: Temos a função
e precisamos encontrar os pontos no gráfico dessa função onde a reta tangente passa pela origem (0,0). Para resolver isso, vamos usar derivadas para encontrar a equação da reta tangente em um ponto qualquer e depois impor a condição de que essa reta passe pela origem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
pode ser encontrada usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, que nos dá a inclinação da reta tangente no ponto
, vamos escrever a equação da reta tangente nesse ponto. A equação da reta tangente em
é:
Passo 4
Como queremos que essa reta passe pela origem (0,0), substituímos
e
na equação da reta tangente:
Isso nos dá a condição:
Passo 5
Substituindo
e
na condição
:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Resolvendo a equação
:
Passo 8
Agora precisamos verificar quais desses valores de
correspondem a pontos no gráfico onde a reta tangente passa pela origem. Vamos calcular as coordenadas dos pontos e suas respectivas retas tangentes.
Para
:
A reta tangente é
, que passa pela origem.
Para
:
A derivada é
A equação da reta tangente é . Substituindo
,
, passa pela origem.
A equação da reta tangente é
Para
:
A derivada é . Substituindo
,
, passa pela origem.
Resposta
Os pontos do gráfico onde a reta tangente passa pela origem são
,
e
.
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