A função , com , e sua derivada segunda

Passo 1

Então, a gente tem a função , onde . A gente precisa descobrir qual é a derivada segunda dessa função. Para fazer isso, vamos usar cálculo diferencial, focando nas regras de derivação de funções trigonométricas e na regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . A gente sabe que a derivada de é vezes a derivada de .
Então, aplicando isso na nossa função:
Como , ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. Vamos derivar .
A derivada de é vezes a derivada de . Aplicando isso:
Como , temos:

Resposta

A derivada segunda da função é .

Exercícios relacionados

O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei em que e são números reais dados. Determine: b) a velocidade no instante ;
Encontre a primeira derivada das funções abaixo utilizando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei em que e são números reais dados. Determine: d) a aceleração no instante .
(Extra) Encontre o ponto da curva na qual a reta tangente é perpendicular à reta .