Encontre a primeira e a segunda derivadas da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivadas da função . Isso pertence ao conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente utiliza regras de derivação como a regra da cadeia e as derivadas básicas das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar dessas regras para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função que temos é , que é uma função composta. Para derivar isso, vamos usar a **regra da cadeia**, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que se temos , onde , então a derivada é: Aqui, é a derivada de em relação a . Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Vamos primeiro calcular , onde . Sabemos que pode ser escrita como . A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão da derivada: Podemos simplificar isso para:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente. A expressão de é um produto de funções, então vamos usar a **regra do produto** na derivação. A regra do produto diz que se temos , então: Vamos identificar e na nossa :

Passo 6

Primeiro, vamos derivar . Isso também é uma função composta, então usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de em relação a é: Então, aplicando a regra da cadeia com :

Passo 7

Agora, vamos derivar . Podemos reescrever isso como . A derivada é:

Passo 8

Agora, aplicando a regra do produto: Substituindo , , e : Simplificando:

Resposta

As derivadas são: e

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