Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivadas da função . Isso pertence ao conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente utiliza regras de derivação como a regra da cadeia e as derivadas básicas das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar dessas regras para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função que temos é , que é uma função composta. Para derivar isso, vamos usar a **regra da cadeia**, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
A regra da cadeia diz que se temos , onde , então a derivada é:
Aqui, é a derivada de em relação a . Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos primeiro calcular , onde . Sabemos que pode ser escrita como . A derivada de em relação a é . Aplicando isso:
Passo 4
Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão da derivada:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente. A expressão de é um produto de funções, então vamos usar a **regra do produto** na derivação.
A regra do produto diz que se temos , então:
Vamos identificar e na nossa :
Passo 6
Primeiro, vamos derivar . Isso também é uma função composta, então usamos a regra da cadeia novamente.
A derivada de em relação a é:
Então, aplicando a regra da cadeia com :
Passo 7
Agora, vamos derivar . Podemos reescrever isso como . A derivada é:
Passo 8
Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo , , e :
Simplificando:
Resposta
As derivadas são:
e
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Seja .
Descreva o conjunto imagem de
Derive