Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivadas da função
. Isso pertence ao conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente utiliza regras de derivação como a regra da cadeia e as derivadas básicas das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar dessas regras para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A função que temos é
, que é uma função composta. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
A regra da cadeia diz que se temos
, onde
, então a derivada
é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
. Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos primeiro calcular
, onde
. Sabemos que
pode ser escrita como
. A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora que temos
, vamos substituir de volta na expressão da derivada:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
novamente. A expressão de
é um produto de funções, então vamos usar a regra do produto na derivação.
A regra do produto diz que se temos
, então:
Vamos identificar
e
na nossa
:
Passo 6
Primeiro, vamos derivar
. Isso também é uma função composta, então usamos a regra da cadeia novamente.
A derivada de
em relação a
é:
Então, aplicando a regra da cadeia com
:
Passo 7
Agora, vamos derivar
. Podemos reescrever isso como
. A derivada é:
Passo 8
Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo
,
,
e
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas são:
e