Verifique que a função
satisfaz a equação
em seu domínio.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e a
, e depois verificar se a diferença entre elas é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Então,
Passo 3
Agora vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isso significa derivar novamente
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos calcular a diferença entre as segundas derivadas parciais:
Simplificando:
Resposta
A função
satisfaz a equação
em seu domínio.
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Seja
, onde
é uma função diferenciável. Expresse
em termos da derivadas parciais de
. Calcule
supondo
.
Encontre as derivadas parciais das seguintes funções