Verifique que a função f(x, y)=ln (x-y)+tg(x+y) satisfaz a equação partial^2 fpartial x^2-partial^2 fpartial y^2=0 em seu domínio.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função partial^2 fpartial x^2 - partial^2 fpartial y^2 = 0 e precisamos verificar se ela satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e a , e depois verificar se a diferença entre elas é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial fpartial x = 1x - y cdot 1 + sec^2(x + y) cdot 1 = 1x - y + sec^2(x + y) em relação a . Lembre-se que a derivada de é e a derivada de é .
Então,

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada parcial de ddx(1x - y) = -1(x - y)^2 em relação a ddx(sec^2(x + y)) = 2sec^2(x + y)tan(x + y) cdot 1 = 2sec^2(x + y)tan(x + y) . Isso significa derivar novamente partial^2 fpartial x^2 = -1(x - y)^2 + 2sec^2(x + y)tan(x + y) em relação a .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial y = 1x - y cdot (-1) + sec^2(x + y) cdot 1 = -1x - y + sec^2(x + y) em relação a .

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de ddy(-1x - y) = -(ddy(1x - y)) = -(1(x - y)^2) = -1(x - y)^2 em relação a ddy(sec^2(x + y)) = 2sec^2(x + y)tan(x + y) cdot 1 = 2sec^2(x + y)tan(x + y) .
Derivando partial^2 fpartial y^2 = -1(x - y)^2 + 2sec^2(x + y)tan(x + y) em relação a :
Derivando em relação a :
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos calcular a diferença entre as segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 - partial^2 fpartial y^2 = (-1(x - y)^2 + 2sec^2(x + y)tan(x + y)) - (-1(x - y)^2 + 2sec^2(x + y)tan(x + y))
Simplificando:
partial^2 fpartial x^2 - partial^2 fpartial y^2 = 0

Resposta

A função satisfaz a equação em seu domínio.

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