Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as primeiras derivadas parciais da função
. Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
ou
. Isso significa que vamos tratar
como uma constante e derivar em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo:
-
Primeiro termo:
- Como
é uma constante em relação a , a derivada de é . - Então, a derivada é
.
- Como
-
Segundo termo:
- Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a . - A derivada de
é . - Então, a derivada é
.
- Aqui,
Então, juntando os dois termos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
ou
. Desta vez, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Usando a mesma função:
Derivando termo a termo:
-
Primeiro termo:
-
é constante em relação a . - A derivada de
é . - Então, a derivada é
.
-
-
Segundo termo:
- Aqui,
é constante em relação a . - A derivada de
é . - Então, a derivada é
.
- Aqui,
Juntando os dois termos:
Resposta
As primeiras derivadas parciais da função são: