Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
f(x, y) = y^3 * e^x + x^3 * e^y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as primeiras derivadas parciais da função . Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de ou . Isso significa que vamos tratar como uma constante e derivar em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo:
  1. Primeiro termo:
    • Como é uma constante em relação a , a derivada de é .
    • Então, a derivada é .
  2. Segundo termo:
    • Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a .
    • A derivada de é .
    • Então, a derivada é .
Então, juntando os dois termos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de ou . Desta vez, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
Usando a mesma função:
Derivando termo a termo:
  1. Primeiro termo:
    • é constante em relação a .
    • A derivada de é .
    • Então, a derivada é .
  2. Segundo termo:
    • Aqui, é constante em relação a .
    • A derivada de é .
    • Então, a derivada é .
Juntando os dois termos:

Resposta

As primeiras derivadas parciais da função são:

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