Encontre as primeiras derivadas em relação a x, ou seja, f'(x), das seguintes funções: f(x) = x / ln(x)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a primeira derivada em relação a da função . Estamos no assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente em derivadas de funções que são frações. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma ferramenta essencial para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que vão compor o quociente. Seja:
A Regra do Quociente nos diz que a derivada de é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Vamos calcular :
A derivada de em relação a é simplesmente:
Agora, vamos calcular :
Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia. Primeiro, reconhecemos que é uma função composta onde a parte externa é e a interna é .
A derivada então fica:

Passo 4

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Quociente:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, observe que no numerador e denominador da segunda fração se cancelam:
Podemos fatorar no numerador:
Simplificando ainda mais, dividindo por :

Resposta

A primeira derivada da função é:

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Encontre as primeiras derivadas em relação a x, ou seja, f'(x), das seguintes funções: f(x) = 5 * e^(tg(x))
Calcule o valor dos seguintes limites:
© lim x infty raiz[3]xx^2+3
Calcule o valor dos seguintes limites:
( phi) lim x 0^- 3x^2-x