Encontre as primeiras derivadas em relação a
, ou seja,
, das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a primeira derivada em relação a
da função
. Estamos no assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente em derivadas de funções que são frações. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma ferramenta essencial para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que vão compor o quociente. Seja:
A Regra do Quociente nos diz que a derivada de
é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
A derivada de
em relação a
é simplesmente:
Agora, vamos calcular
:
Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia. Primeiro, reconhecemos que
é uma função composta onde a parte externa é
e a interna é
.
A derivada então fica:
A derivada então fica:
Passo 4
Agora que temos
e
, aplicamos a Regra do Quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, observe que no numerador e denominador da segunda fração se cancelam:
Primeiro, observe que
Podemos fatorar
no numerador:
Simplificando ainda mais, dividindo
por
:
Resposta
A primeira derivada da função é:
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, ou seja,
, das seguintes funções:
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Calcule o valor dos seguintes limites:
©
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Calcule o valor dos seguintes limites:
(
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