Encontre uma primitiva , da função , que satisfaça .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma primitiva da função . Isso significa que queremos uma função cuja derivada seja . Além disso, deve satisfazer a condição . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especialmente de integração.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primitiva de . Sabemos que a primitiva de uma soma de funções é a soma das primitivas de cada função. Ou seja:

Passo 3

Primeiro, vamos integrar . A regra de integração para é:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar . Aplicando a mesma regra de integração:

Passo 5

Somando as duas integrais, obtemos a primitiva geral :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de que satisfaz a condição . Substituindo na expressão de :
Como elevado a qualquer potência é , temos:

Passo 7

Vamos resolver para :
Para subtrair as frações, vamos encontrar um denominador comum, que é :

Resposta

Portanto, a primitiva que satisfaz é:

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Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
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Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
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