Encontre uma primitiva para as funções:
b)
.
b)
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer. O exercício pede para encontrar uma primitiva da função
. Isso significa que precisamos encontrar uma função cuja derivada seja exatamente
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, especialmente a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração. Sabemos que
pode ser escrita como
. Assim, a integral que precisamos calcular é:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Vamos definir uma nova variável
igual ao que está dentro da raiz:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Vamos integrar
:
Multiplicando pelo fator
que veio da substituição:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
Uma primitiva para a função
é:
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Calcule
quando
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
.
Calcule
quando