Encontre a solução geral da equação diferencial dada: u'' + omega_0^2 * u = cos(omega * t), omega^2 != omega_0^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial: , onde . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, a gente assume uma solução da forma e substitui na equação:
As raízes são . Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:

Passo 4

Vamos derivar para substituir na equação:
Substituindo e na equação:

Passo 5

Vamos organizar os termos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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