Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
, onde
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, a gente assume uma solução da forma
e substitui na equação:
As raízes são
. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação:
Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Vamos organizar os termos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: