Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui a gente precisa encontrar a primitiva mais geral da função
. Isso significa que vamos calcular a integral indefinida dessa função. Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo frações racionais e talvez decomposição de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que queremos integrar. Olha só, o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são quadráticos, ou seja, de segundo grau). Nessas situações, a gente pode fazer uma divisão simples das duas expressões para simplificar a fração.
Vamos dividir
por
:
Então, a fração se simplifica para
.
Passo 3
Agora que simplificamos a função, a integral fica mais fácil de resolver. Vamos integrar termo por termo:
Vamos integrar cada parte separadamente.
Passo 4
Integrando o primeiro termo,
, é bem direto:
Aqui,
é uma constante de integração. Mas vamos deixar a constante para o final.
Passo 5
Agora, vamos integrar o segundo termo,
. Sabemos que:
Então, multiplicando por 3:
Passo 6
Juntando as duas integrais, temos:
Aqui,
é a constante geral de integração.
Resposta
A primitiva mais geral de
é:
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Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Seja
(1) Esboce o gráfico de
.
(2) é derivável em
? Em caso afirmativo, calcule
.
(2)
Determine as derivadas parciais indicadas.
(b)
(b)
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)