Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui a gente precisa encontrar a primitiva mais geral da função . Isso significa que vamos calcular a integral indefinida dessa função. Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo frações racionais e talvez decomposição de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que queremos integrar. Olha só, o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são quadráticos, ou seja, de segundo grau). Nessas situações, a gente pode fazer uma divisão simples das duas expressões para simplificar a fração.
Vamos dividir por :
Então, a fração se simplifica para .

Passo 3

Agora que simplificamos a função, a integral fica mais fácil de resolver. Vamos integrar termo por termo:
Vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 4

Integrando o primeiro termo, , é bem direto:
Aqui, é uma constante de integração. Mas vamos deixar a constante para o final.

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo, . Sabemos que:
Então, multiplicando por 3:

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
Aqui, é a constante geral de integração.

Resposta

A primitiva mais geral de é:

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Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Seja
(1) Esboce o gráfico de .
(2) é derivável em ? Em caso afirmativo, calcule .
Determine as derivadas parciais indicadas.
(b)
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)