Encontre o produto vetorial dos dois vetores A=8 imath+3 jmath e B=-5 imath-7 jmath. Verifique explicitamente que A times B=-(B times A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar o produto vetorial dos vetores A = 8,imath + 3,jmath e B = -5,imath - 7,jmath. Além disso, precisamos mostrar que A times B = -(B times A). Para isso, vamos usar a matéria de Álgebra Vetorial, especificamente sobre o produto vetorial entre vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Em 3D, o produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. No caso de vetores no plano (2D), podemos considerar que ambos têm a componente k = 0 e o produto vetorial vai apontar na direção positiva ou negativa de k. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores A = a1,imath + a2,jmath + a3,k e B = b1,imath + b2,jmath + b3,k é:
A times B = imath & jmath & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3

Passo 3

No nosso caso, como estamos trabalhando com vetores no plano, temos a3 = 0 e b3 = 0. Então, a matriz fica:
A times B = imath & jmath & k 8 & 3 & 0 -5 & -7 & 0

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que o produto vetorial em 2D resulta apenas na componente k, então:
A times B = (8 cdot (-7) - 3 cdot (-5)),k = (-56 + 15),k = -41,k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial na ordem inversa, ou seja, B times A:
B times A = imath & jmath & k -5 & -7 & 0 8 & 3 & 0
Calculando o determinante:
B times A = (-5 cdot 3 - (-7) cdot 8),k = (-15 + 56),k = 41,k

Passo 6

Finalmente, vamos verificar a relação A times B = -(B times A):
A times B = -41,k e -(B times A) = -41,k
Portanto, a igualdade está confirmada!

Resposta

O produto vetorial dos vetores A e B é A times B = -41,k, e verifica-se que A times B = -(B times A).

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