O vetor A tem uma magnitude de 3 unidades e está ao longo do eixo x negativo. O vetor B tem uma magnitude de 6 unidades e faz um ângulo de 30^circ com o eixo x positivo. Encontre o produto escalar A cdot B sem usar o conceito de componentes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores: o vetor A tem magnitude de 3 unidades e está no eixo x negativo, e o vetor B tem magnitude de 6 unidades e forma um ângulo de 30^circ com o eixo x positivo. O conteúdo que vamos usar aqui é produto escalar de vetores. Para resolver, precisamos entender como calcular o produto escalar sem usar componentes, ou seja, usando apenas as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores sem decompor em componentes. A fórmula é:
A cdot B = |A| , |B| cos(theta)
onde |A| e |B| são as magnitudes dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, precisamos achar o ângulo theta entre os vetores A e B. Sabemos que:
  • A está no eixo x negativo, ou seja, faz um ângulo de 180^circ com o eixo x positivo.
  • B faz um ângulo de 30^circ com o eixo x positivo.
Para encontrar o ângulo entre A e B, subtraímos os ângulos que cada vetor faz com o eixo x positivo:
theta = 180^circ - 30^circ = 150^circ

Passo 4

Agora que temos o ângulo entre os vetores, podemos aplicar a fórmula do produto escalar:
A cdot B = |A| , |B| cos(150^circ)
Sabemos que |A| = 3 e |B| = 6.

Passo 5

Vamos calcular cos(150^circ. Sabemos que:
cos(150^circ) = cos(180^circ - 30^circ) = -cos(30^circ) = -raiz32

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do produto escalar:
A cdot B = 3 times 6 times (-raiz32)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
A cdot B = 18 times (-raiz32) = -9raiz3

Resposta

O produto escalar A cdot B é -9raiz3 unidades.

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