Encontre o quarto termo P4 do polinômio de Taylor para a função f definida por f(x) = sen x para a = pi/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o quarto termo P4 do polinômio de Taylor para a função centrado no ponto . Basicamente, vamos precisar saber como construir um polinômio de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função seno nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função suave perto de um ponto a, usando uma soma de termos que envolvem as derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n para uma função f em torno de a é:
No nosso caso, queremos o polinômio de Taylor de grau 4 para em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem:
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Valor da função:
  2. Primeira derivada:
  3. Segunda derivada:
  4. Terceira derivada:
  5. Quarta derivada:

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4 usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
  1. Segundo termo:
  2. Terceiro termo:
  3. Quarto termo:
  4. Quinto termo:

Resposta

O quarto termo P4 do polinômio de Taylor para em é:

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