Encontre o quarto termo
do polinômio de Taylor para a função f definida
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o quarto termo
do polinômio de Taylor para a função centrado no ponto
. Basicamente, vamos precisar saber como construir um polinômio de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função seno nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função suave perto de um ponto
, usando uma soma de termos que envolvem as derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
é:
No nosso caso, queremos o polinômio de Taylor de grau 4 para em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Valor da função:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4 usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando os coeficientes:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
- Quinto termo:
Resposta
O quarto termo
do polinômio de Taylor para em
é: