Seja a transformação , onde e .
c) O conjunto onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação definida por:
O exercício pede para determinarmos o conjunto , onde é o conjunto de todos os pares no plano real com e . Vamos precisar entender como essa transformação afeta o conjunto no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que faz cada componente da transformação:
Aqui, varia de 0 a 1 e varia de 0 a , que são os limites dados pelo conjunto .
Passo 3
Vamos observar que e estão expressos em termos de coordenadas polares no plano . Especificamente, para um dado , descreve um círculo de raio . Como varia de 0 a 1, esses círculos variam de raio 0 a 1.
Passo 4
Além disso, o componente indica que o valor de é igual ao raio . Então, conforme aumenta, não só o raio do círculo no plano aumenta, mas também a altura aumenta de 0 a 1.
Passo 5
Agora, vamos relacionar , e . Sabemos que e , então:
Mas , então podemos substituir:
Isso nos dá a equação de um cone no espaço tridimensional.
Passo 6
Finalmente, como varia de 0 a 1, também varia de 0 a 1. Portanto, é a parte do cone com entre 0 e 1.