Seja a transformação f(u, v) = (x, y, z), onde x = u cos v, y = u sen v e z = u.
c) O conjunto f(B) onde B = {(u, v) em R^2 ; 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 2 pi}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação definida por:
O exercício pede para determinarmos o conjunto , onde é o conjunto de todos os pares no plano real com e . Vamos precisar entender como essa transformação afeta o conjunto no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que faz cada componente da transformação:
Aqui, varia de 0 a 1 e varia de 0 a , que são os limites dados pelo conjunto .

Passo 3

Vamos observar que e estão expressos em termos de coordenadas polares no plano . Especificamente, para um dado , descreve um círculo de raio . Como varia de 0 a 1, esses círculos variam de raio 0 a 1.

Passo 4

Além disso, o componente indica que o valor de é igual ao raio . Então, conforme aumenta, não só o raio do círculo no plano aumenta, mas também a altura aumenta de 0 a 1.

Passo 5

Agora, vamos relacionar , e . Sabemos que e , então:
Mas , então podemos substituir:
Isso nos dá a equação de um cone no espaço tridimensional.

Passo 6

Finalmente, como varia de 0 a 1, também varia de 0 a 1. Portanto, é a parte do cone com entre 0 e 1.

Resposta

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