Seja a transformação
, onde
e
.
c) O conjunto
onde
.
c) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação
definida por:
O exercício pede para determinarmos o conjunto
, onde
é o conjunto de todos os pares
no plano real
com
e
. Vamos precisar entender como essa transformação afeta o conjunto
no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que faz cada componente da transformação:
Aqui,
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
, que são os limites dados pelo conjunto
.
Passo 3
Vamos observar que
e
estão expressos em termos de coordenadas polares no plano
. Especificamente, para um dado
,
descreve um círculo de raio
. Como
varia de 0 a 1, esses círculos variam de raio 0 a 1.
Passo 4
Além disso, o componente
indica que o valor de
é igual ao raio
. Então, conforme
aumenta, não só o raio do círculo no plano
aumenta, mas também a altura
aumenta de 0 a 1.
Passo 5
Agora, vamos relacionar
,
e
. Sabemos que
e
, então:
Mas
, então podemos substituir:
Isso nos dá a equação de um cone no espaço tridimensional.
Passo 6
Finalmente, como
varia de 0 a 1,
também varia de 0 a 1. Portanto,
é a parte do cone
com
entre 0 e 1.