Represente geometricamente o campo vetorial dado
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para representar geometricamente o campo vetorial
. Aqui estamos trabalhando com Campos Vetoriais, que são funções que atribuem um vetor a cada ponto do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, para cada ponto
no plano, o vetor do campo tem apenas componente na direção de
(que aponta para cima no eixo y) e essa componente é igual a
.
Passo 3
Para representar esse campo vetorial geometricamente, vamos pensar em desenhar vetores em diferentes pontos do plano. Cada vetor terá direção vertical (paralela ao eixo y) e o tamanho do vetor dependerá do valor de
no ponto onde ele está localizado.
Passo 4
Vamos escolher alguns pontos para visualizar melhor:
-
Ponto (0, y): Aqui,
, então . Isso significa que não há vetor nesse ponto; o campo é nulo aqui. -
Ponto (1, y):
, então . O vetor tem comprimento 1 na direção de y. -
Ponto (2, y):
, ent��o . O vetor tem comprimento 4 na direção de y. -
Ponto (-1, y):
, então . Mesmo que x seja negativo, o quadrado torna positivo, então o vetor também aponta para cima com comprimento 1.
Passo 5
Com esses pontos, podemos visualizar que os vetores ficam mais altos à medida que o valor absoluto de
aumenta. Além disso, todos apontam na mesma direção (para cima no eixo y) porque não há componente na direção de
(eixo x).
Passo 6
Então, para representar o campo vetorial
geometricamente, desenhamos vetores que apontam para cima, com o comprimento de cada vetor aumentando conforme o valor de
aumenta.
Resposta
O campo vetorial
é representado geometricamente por vetores verticais que apontam para cima, com comprimento aumentando conforme o valor de
aumenta.
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Seja a transformação
, onde
e
.
c) O conjunto onde
.
c) O conjunto
Encontre o quarto termo
do polinômio de Taylor para a função f definida
para
Resolva as integrais duplas:
Resolva as integrais triplas: