Encontre as quatro soluções da equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar as quatro soluções dessa equação. Esse problema está relacionado à álgebra e mais especificamente à resolução de equações polinomiais de quarto grau. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição e trabalhar com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar . Com isso, a equação original fica:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de , que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, percebemos que o discriminante é negativo ( ), o que indica que as soluções serão números complexos.
Simplificando:

Passo 4

Agora, voltamos à substituição que fizemos: . Então, temos duas equações para resolver:
Vamos resolver cada uma delas separadamente para encontrar as raízes de .

Passo 5

Para resolver e , vamos utilizar a forma trigonométrica dos números complexos. Primeiro, vamos expressar e na forma :
  • Para :
    • Módulo:
    • Argumento:
    • Então,
  • Para :
    • Módulo:
    • Argumento:
    • Então,
Agora, para encontrar , tiramos a raiz quadrada multiplicando o argumento por :
  • Soluções de :
    • e
  • Soluções de :
    • e

Resposta

As quatro soluções da equação são:

Exercícios relacionados

Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Números complexos e vetores no plano Mostre com um diagrama de Argand que a regra para somar números complexos é a mesma que a lei do paralelogramo para somar vetores.
Encontre as três raízes cúbicas de .