Encontre as quatro soluções da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa encontrar as quatro soluções dessa equação. Esse problema está relacionado à álgebra e mais especificamente à resolução de equações polinomiais de quarto grau. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição e trabalhar com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar
. Com isso, a equação original fica:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de
, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, percebemos que o discriminante é negativo (
), o que indica que as soluções serão números complexos.
Simplificando:
Passo 4
Agora, voltamos à substituição que fizemos:
. Então, temos duas equações para resolver:
Vamos resolver cada uma delas separadamente para encontrar as raízes de
.
Passo 5
Para resolver
e
, vamos utilizar a forma trigonométrica dos números complexos. Primeiro, vamos expressar
e
na forma
:
-
Para
: - Módulo:
- Argumento:
- Então,
- Módulo:
-
Para
: - Módulo:
- Argumento:
- Então,
- Módulo:
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada multiplicando o argumento por
:
-
Soluções de
: -
e
-
-
Soluções de
: -
e
-
Resposta
As quatro soluções da equação são:
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