Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método do fator integrante. A equação que temos é . Aqui, vamos precisar entender o que é uma EDO de primeira ordem e como aplicar o fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão para poder aplicar o método do fator integrante. A forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação , podemos reescrever assim:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a integração da equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integração do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos separar em duas integrais:
Usando integração por partes para a primeira integral e a segunda integral é direta:

Passo 7

Somando as integrais:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à equação onde integramos:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Encontre as quatro soluções da equação .