Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método do fator integrante. A equação que temos é
. Aqui, vamos precisar entender o que é uma EDO de primeira ordem e como aplicar o fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão para poder aplicar o método do fator integrante. A forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação
, podemos reescrever assim:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função
que facilita a integração da equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos separar em duas integrais:
Usando integração por partes para a primeira integral e a segunda integral é direta:
Passo 7
Somando as integrais:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à equação onde integramos:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
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Encontre as quatro soluções da equação
.