Escolha duas séries abaixo. Determine se a série é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
l sumn=1^infty cos (pi n) sumn=1^infty 2^-n+3^-n sumn=1^infty(-1)^n+1 32^n

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para escolher duas séries e descobrir se elas convergem ou divergem. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e séries alternadas. Vamos precisar saber como identificar o tipo de série e aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Vamos começar analisando a segunda série:
sumn=1^infty (2^-n + 3^-n)
Essa série é a soma de duas séries geométricas. Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Para a primeira parte da série, . Aqui, e .
Sabemos que uma série geométrica converge se . No caso, , então essa parte converge.

Passo 4

Para a segunda parte, . Aqui, e .
Novamente, , então essa parte também converge.

Passo 5

Como a soma de duas séries convergentes também converge, a segunda série inteira converge.

Passo 6

Agora vamos analisar a terceira série:
sumn=1^infty (-1)^n+1 32^n
Essa é uma série alternada, onde os termos mudam de sinal a cada termo devido ao .

Passo 7

Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. é decrescente.
  2. quando .

Passo 8

Aqui, . Vamos verificar:
  1. é decrescente porque, conforme aumenta, cresce rapidamente, fazendo diminuir.
  2. .
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge.

Resposta

Ambas as séries escolhidas convergem. A segunda série converge por ser a soma de duas séries geométricas com razões menores que 1, e a terceira série converge pelo Teste da Série Alternada.

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