Escolha duas séries abaixo. Determine se a série é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para escolher duas séries e descobrir se elas convergem ou divergem. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e séries alternadas. Vamos precisar saber como identificar o tipo de série e aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Vamos começar analisando a segunda série:
Essa série é a soma de duas séries geométricas. Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Para a primeira parte da série, . Aqui, e .
Sabemos que uma série geométrica converge se . No caso, , então essa parte converge.

Passo 4

Para a segunda parte, . Aqui, e .
Novamente, , então essa parte também converge.

Passo 5

Como a soma de duas séries convergentes também converge, a segunda série inteira converge.

Passo 6

Agora vamos analisar a terceira série:
Essa é uma série alternada, onde os termos mudam de sinal a cada termo devido ao .

Passo 7

Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. é decrescente.
  2. quando .

Passo 8

Aqui, . Vamos verificar:
  1. é decrescente porque, conforme aumenta, cresce rapidamente, fazendo diminuir.
  2. .
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge.

Resposta

Ambas as séries escolhidas convergem. A segunda série converge por ser a soma de duas séries geométricas com razões menores que 1, e a terceira série converge pelo Teste da Série Alternada.

Exercícios relacionados

Encontre os quatros primeiros termos da sequência das somas parciais , encontre a fórmula para . Determine se a série infinita é convergente ou divergente , se for convergente, encontre a soma.
Utilizando coordenadas esféricas, mostre que o volume da parte da esfera que está no primeiro octante é .
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f) ;
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
h) ;