Escolha duas séries abaixo. Determine se a série é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para escolher duas séries e descobrir se elas convergem ou divergem. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e séries alternadas. Vamos precisar saber como identificar o tipo de série e aplicar os critérios de convergência.
Passo 2
Vamos começar analisando a segunda série:
Essa série é a soma de duas séries geométricas. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
Para a primeira parte da série,
. Aqui,
e
.
Sabemos que uma série geométrica converge se
. No caso,
, então essa parte converge.
Passo 4
Para a segunda parte,
. Aqui,
e
.
Novamente,
, então essa parte também converge.
Passo 5
Como a soma de duas séries convergentes também converge, a segunda série inteira
converge.
Passo 6
Agora vamos analisar a terceira série:
Essa é uma série alternada, onde os termos mudam de sinal a cada termo devido ao
.
Passo 7
Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que a série
converge se:
-
é decrescente. -
quando .
Passo 8
Aqui,
. Vamos verificar:
-
é decrescente porque, conforme aumenta, cresce rapidamente, fazendo diminuir. -
.
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge.
Resposta
Ambas as séries escolhidas convergem. A segunda série
converge por ser a soma de duas séries geométricas com razões menores que 1, e a terceira série
converge pelo Teste da Série Alternada.
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.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f) ;
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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
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