Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f)
;
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região delimitada pelos gráficos das equações
e
, e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Precisamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam e, depois, integrar a diferença entre elas para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo essa equação para
, temos:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos esboçar o gráfico. A parábola
abre para cima e está deslocada 2 unidades para baixo. A reta
é uma linha horizontal. Elas se interceptam nos pontos
e
, formando uma região fechada entre elas.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, usamos a fórmula da integral definida que representa a área entre duas curvas:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo, e
e
são os limites de integração, que são os pontos de interseção encontrados anteriormente.
Passo 6
Identificamos que a reta
está acima da parábola
no intervalo
. Então, nossa fórmula fica:
Simplificando dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral para a área é:
Vamos calcular essa integral.
Passo 8
Calculando a integral:
Agora, aplicamos os limites de -2 a 2:
Passo 9
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.