Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f) y = x^2 - 2 ; y = 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região delimitada pelos gráficos das equações e , e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Precisamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam e, depois, integrar a diferença entre elas para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo essa equação para , temos:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos esboçar o gráfico. A parábola abre para cima e está deslocada 2 unidades para baixo. A reta é uma linha horizontal. Elas se interceptam nos pontos e , formando uma região fechada entre elas.

Passo 5

Para calcular a área dessa região, usamos a fórmula da integral definida que representa a área entre duas curvas:
Á
Onde é a função de cima e é a função de baixo, e e são os limites de integração, que são os pontos de interseção encontrados anteriormente.

Passo 6

Identificamos que a reta está acima da parábola no intervalo . Então, nossa fórmula fica:
Á
Simplificando dentro da integral:

Passo 7

Agora, a integral para a área é:
Á
Vamos calcular essa integral.

Passo 8

Calculando a integral:
Agora, aplicamos os limites de -2 a 2:

Passo 9

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo as duas partes:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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