Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
sumn=1^infty x^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio de convergência da série usando o teste da razão. Isso está relacionado ao estudo de séries e convergência em cálculo, mais especificamente usando o teste da razão para determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Ele nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série infinita analisando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A fórmula do teste da razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Aplicando o teste da razão à nossa série, onde an+1an = x^n+1(n+1)!x^nn! = x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! = x cdot n!(n+1) cdot n! = xn+1 , vamos calcular:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | xn+1 | = limn to infty |x|n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Como e , de acordo com o teste da razão, a série converge para todo valor de . Ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito.

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