Usando a série de potências
11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots,|x|<1
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
x4 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o enunciado está pedindo é para a gente encontrar uma série de potências para a função 11-x = sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ldots, |x| < 1 . A gente vai usar como base a série que já conhecemos:
Então, o conteúdo aqui é sobre séries de potências, e vamos precisar manipular essa série conhecida para adaptar à função que a gente quer representar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma rearranjada na função que a gente quer:
x4x + 1
Podemos reescrever isso como:
x1 + 4x = x1 - (-4x)
Aí já temos algo parecido com a série que conhecemos, onde 11 - z = sumn=0^infty z^n, |z| < 1 é substituído por 11 - (-4x) = sumn=0^infty (-4x)^n . Agora, lembrando da nossa série base:
x1 - (-4x) = x cdot sumn=0^infty (-4x)^n = sumn=0^infty x cdot (-4x)^n
Aqui, sumn=0^infty (-4)^n x^n+1 . Então, substituindo na série, temos:
sumn=1^infty (-4)^n-1 x^n
Agora, voltando à nossa função original , podemos multiplicar ambos os lados por :
Simplificando a expressão, fica:
Podemos reescrever isso para facilitar a visualização:

Passo 3

Agora, vamos tratar do intervalo de convergência. Sabemos que a série base converge quando:
|z| < 1
No nosso caso, |-4x| < 1 Rightarrow |x| < 14 , então:
Então, a série que encontramos vai convergir quando o valor absoluto de for menor que .

Resposta

A série de potências para x4x + 1 = sumn=0^infty (-4)^n x^n+1 é:
|x| < 14
E o intervalo de convergência é:

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