Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o enunciado está pedindo é para a gente encontrar uma série de potências para a função
. A gente vai usar como base a série que já conhecemos:
Então, o conteúdo aqui é sobre séries de potências, e vamos precisar manipular essa série conhecida para adaptar à função que a gente quer representar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma rearranjada na função que a gente quer:
Podemos reescrever isso como:
Aí já temos algo parecido com a série que conhecemos, onde
é substituído por
. Agora, lembrando da nossa série base:
Aqui,
. Então, substituindo na série, temos:
Agora, voltando à nossa função original
, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Simplificando a expressão, fica:
Podemos reescrever isso para facilitar a visualização:
Passo 3
Agora, vamos tratar do intervalo de convergência. Sabemos que a série base converge quando:
No nosso caso,
, então:
Então, a série que encontramos vai convergir quando o valor absoluto de
for menor que
.
Resposta
A série de potências para
é:
E o intervalo de convergência é:
Exercícios relacionados
A função de Bessel é dada pela série
.
Mostre que ela está definida para todo , mostrando que o raio de convergência da série é
.
Mostre que ela está definida para todo
Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):