Usando a série de potências
11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots,|x|<1
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
ln (1-x)

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente usar a série de potências dada para encontrar uma representação em série para a função ln(1 - x), além de determinar o intervalo de convergência dessa nova série. Vamos precisar entender como modificar a série inicial para chegar nessa função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de potências que nos foi dada:
11 - x = sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ldots, |x| < 1
Essa é uma série geométrica simples. Agora, para obter a série de ln(1 - x), vamos usar o fato de que a integral de 11 - x é -ln(1 - x). Então, vamos integrar ambos os lados da série.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo a série de 11 - x:
integral 11 - x , dx = integral ( sumn=0^infty x^n ) dx
Isso resulta em:
-ln(1 - x) = sumn=0^infty x^n+1n+1 + C
Como queremos que a série seja igual a -ln(1 - x) quando x = 0, a constante de integração C é zero.

Passo 4

Agora, podemos reescrever a série de forma mais limpa ajustando os índices:
-ln(1 - x) = sumn=1^infty x^nn
Multiplicando ambos os lados por -1, temos:
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn

Passo 5

Finalmente, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original 11 - x converge para |x| < 1. Como integramos essa série termo a termo, o intervalo de convergência permanece o mesmo: |x| < 1.

Resposta

A representação em série de potências para ln(1 - x) é:
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn, |x| < 1

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