Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para a gente usar a série de potências dada para encontrar uma representação em série para a função
, além de determinar o intervalo de convergência dessa nova série. Vamos precisar entender como modificar a série inicial para chegar nessa função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de potências que nos foi dada:
Essa é uma série geométrica simples. Agora, para obter a série de
, vamos usar o fato de que a integral de
é
. Então, vamos integrar ambos os lados da série.
Passo 3
Vamos integrar termo a termo a série de
:
Isso resulta em:
Como queremos que a série seja igual a
quando
, a constante de integração
é zero.
Passo 4
Agora, podemos reescrever a série de forma mais limpa ajustando os índices:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Finalmente, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original
converge para
. Como integramos essa série termo a termo, o intervalo de convergência permanece o mesmo:
.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
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Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
A função de Bessel é dada pela série
.
Prove que ela é solução da EDO
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Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):