Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente usar a série de potências dada para encontrar uma representação em série para a função , além de determinar o intervalo de convergência dessa nova série. Vamos precisar entender como modificar a série inicial para chegar nessa função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de potências que nos foi dada:
Essa é uma série geométrica simples. Agora, para obter a série de , vamos usar o fato de que a integral de é . Então, vamos integrar ambos os lados da série.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo a série de :
Isso resulta em:
Como queremos que a série seja igual a quando , a constante de integração é zero.

Passo 4

Agora, podemos reescrever a série de forma mais limpa ajustando os índices:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Finalmente, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original converge para . Como integramos essa série termo a termo, o intervalo de convergência permanece o mesmo: .

Resposta

A representação em série de potências para é:

Exercícios relacionados

Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
A função de Bessel é dada pela série .
Prove que ela é solução da EDO
Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):