Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente resolva a equação diferencial usando séries de potências. Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma soma infinita de termos com potências de . Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries de potências, derivadas termo a termo e como substituir essas séries na equação diferencial para encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular a segunda derivada dessa série, já que a equação envolve . Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial :

Passo 5

Para facilitar a manipulação das séries, vamos ajustar os índices de soma. Na primeira série, vamos fazer , o que nos dá:

Passo 6

Agora, podemos combinar as duas séries, já que ambas estão em termos de :

Passo 7

Para que essa equação seja verdadeira para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero. Assim, temos a relação de recorrência:

Passo 8

Vamos resolver essa relação de recorrência para os coeficientes . Começamos definindo os dois primeiros termos e (que são arbitrários e determinam a solução geral).
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 9

Observamos que os coeficientes pares ( ) dependem de e os ímpares ( ) dependem de . Assim, podemos separar a série original em duas séries distintas:

Passo 10

Reconhecemos que as séries acima são as expansões em série de potências das funções hiperbólicas e :

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial usando séries de potências é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com base em condições iniciais específicas.

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