Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente resolva a equação diferencial
usando séries de potências. Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma soma infinita de termos com potências de
. Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries de potências, derivadas termo a termo e como substituir essas séries na equação diferencial para encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular a segunda derivada dessa série, já que a equação envolve
. Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Para facilitar a manipulação das séries, vamos ajustar os índices de soma. Na primeira série, vamos fazer
, o que nos dá:
Passo 6
Agora, podemos combinar as duas séries, já que ambas estão em termos de
:
Passo 7
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Passo 8
Vamos resolver essa relação de recorrência para os coeficientes
. Começamos definindo os dois primeiros termos
e
(que são arbitrários e determinam a solução geral).
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 9
Observamos que os coeficientes pares (
) dependem de
e os ímpares (
) dependem de
. Assim, podemos separar a série original em duas séries distintas:
Passo 10
Reconhecemos que as séries acima são as expansões em série de potências das funções hiperbólicas
e
:
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial
usando séries de potências é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com base em condições iniciais específicas.
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encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
A função de Bessel é dada pela série
.
Mostre que ela está definida para todo , mostrando que o raio de convergência da série é
.
Mostre que ela está definida para todo
Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
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